【題目】如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直,,∥,,點在線段上.
(I)當點為中點時,求證:∥平面;
(II)當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時,求三棱錐的體積.
【答案】(I)建立空間直角坐標系,證明,進而得證;(II)
【解析】
試題(1)要證明直線和平面平行,只需在平面內(nèi)找一條直線,與平面外的直線平行即可,取中點,連結(jié).可證明四邊形為平行四邊形. 于是,∥,從而證明面;(2)要證明平面和平面垂直,只需在一個平面內(nèi)找另一個平面的一條垂線,由面平面且,可證平面,從而,又可證,故平面,平面平面;(3)建立空間直角坐標系,設(shè)點M的坐標,求兩個半平面的法向量,然后利用已知二面角的余弦值列方程,從而確定點M的位置,進而求三棱錐的體積.
試題解析:(1)證明 取中點,連結(jié).在△中,分別為的中點,
則∥,且.由已知∥,,因此,∥,且.所以,四邊形為平行四邊形. 于是,∥.又因為平面,且平面,
所以∥平面,從而可證.
(2)證明 在正方形中,.又平面平面,平面平面,知平面.所以.在直角梯形中,,,算得.在△中,,可得.故平面.又因為平面,所以,平面平面.
(3)按如圖建立空間直角坐標系,點與坐標原點重合.設(shè),則,又,設(shè),則,即.
設(shè)是平面的法向量,則,.
取,得,即得平面的一個法向量為. 由題可知,是平面的一個法向量.因此,,即點為中點.此時,,為三棱錐的高,所以,.
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【題目】已知橢圓: 經(jīng)過點,焦距為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線與橢圓交于不同的兩點、,線段的垂直平分線交軸交于點,若,求的值.
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【題目】哈三中群力校區(qū)高二、六班同學用隨機抽樣的辦法對所在校區(qū)老師的飲食習慣進行了一次調(diào)查, 飲食指數(shù)結(jié)果用莖葉圖表示如圖, 圖中飲食指數(shù)低于70的人是飲食以蔬菜為主;飲食指數(shù)高于70的人是飲食以肉類為主.
(1)完成下列2×2列聯(lián)表:
能否有99%的把握認為老師的飲食習慣與年齡有關(guān)?
(2)從群力校區(qū)任選一名老師, 設(shè)“選到45歲以上老師”為事件, “飲食指數(shù)高于70的老師”為事件, 用調(diào)查的結(jié)果估計及(用最簡分數(shù)作答);
(3)為了給食堂提供老師的飲食信息, 根據(jù)(1)(2)的結(jié)論,能否有更好的抽樣方法來估計老師的飲食習慣, 并說明理由.附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】在四棱椎中,底面為矩形,平面平面, , , 為線段上一點,且,點, 分別為線段, 的中點.
(1)求證: 平面;
(2)若平面將四棱椎分成左右兩部分,求這兩部分的體積之比.
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【題目】某班甲、乙兩名同學參加l00米達標訓(xùn)練,在相同條件下兩人10次訓(xùn)練的成績(單位:秒)如下:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
甲 | 11.6 | 12.2 | 13.2 | 13.9 | 14.0 | 11.5 | 13.1 | 14.5 | 11.7 | 14.3 |
乙 | 12.3 | 13.3 | 14.3 | 11.7 | 12.0 | 12.8 | 13.2 | 13.8 | 14.1 | 12.5 |
(I)請作出樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖;如果從甲、乙兩名同學中選一名參加學校的100米比賽,從成績的穩(wěn)定性方面考慮,選派誰參加比賽更好,并說明理由(不用計算,可通過統(tǒng)計圖直接回答結(jié)論).
(Ⅱ)從甲、乙兩人的10次訓(xùn)練成績中各隨機抽取一次,求抽取的成績中至少有一個比12.8秒差的概率.
(Ⅲ)經(jīng)過對甲、乙兩位同學的多次成績的統(tǒng)計,甲、乙的成績都均勻分布在之間,現(xiàn)甲、乙比賽一次,求甲、乙成績之差的絕對值小于秒的概率.
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【題目】已知圓C過點,與y軸相切,且圓心在直線上.
(1)求圓C的標準方程;
(2)若圓C半徑小于2,求經(jīng)過點且與圓C相切的直線的方程.
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【題目】“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié),某電子商務(wù)平臺對某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進行摸底調(diào)查,用隨機抽樣的方法抽取了100人,其消費金額 (百元)的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)求網(wǎng)民消費金額的中位數(shù);
(2)把下表中空格里的數(shù)填上,能否有的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關(guān);
(3)將(2)中的頻率當作概率,電子商務(wù)平臺從該市網(wǎng)民中隨機抽取10人贈送電子禮金,求這10人中女性的人數(shù)的數(shù)學期望.
男 | 女 | 合計 | |
30 | |||
合計 | 45 |
附表:
.
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【題目】已知為實常數(shù),函數(shù).
(1)求函數(shù)的最值;
(2)設(shè).
(i)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(ⅱ) 若函數(shù)有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.
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