Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁=2，求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）若對任意n∈N^*，都有

a 2 n + a 2 n+1

an+an+1

≥5成立，求n為偶數(shù)時，a₁的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知得數(shù)列{a_2n-1}是首項為a₁，公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是首項為a₂，公差為4的等差數(shù)列，從而a_n=

2n，n=2k-1 2n-5，n=2k

，由此能求出S_n．
（II）當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁，從而a12+3a₁≥-4n²+16n-12．令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4．由此能求出a₁的取值范圍．

解答： 解：（I）由a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*），
得a_n+2+a_n+1=4n+1（n∈N^*）．
兩式相減，得a_n+2-a_n=4．
所以數(shù)列{a_2n-1}是首項為a₁，公差為4的等差數(shù)列；
數(shù)列{a_2n}是首項為a₂，公差為4的等差數(shù)列．…（2分）
由a₂+a₁=1，a₁=2，得a₂=-1．
所以a_n=

2n，n=2k-1 2n-5，n=2k

，（k∈Z）．…．…（3分）
①當(dāng)n為奇數(shù)時，a_n=2n，a_n+1=2n-3，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=1+9+…+（4n-11）+2n=

n-1 2 ×(1+4n-11)

2

+2n=

2n2-3n+5

2

．…（5分）
②當(dāng)n為偶數(shù)時，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=1+9+…+（4n-7）=

2n2-3n

2

．
所以S_n=

2n2-3n+5 2 ，n=2k-1 2n2-3n 2 ，n=2k

，（k∈Z）．…（7分）
（II）由（I）知，a_n=

2n-2+a1，n=2k-1 2n-3-a1，n=2k

，（k∈Z）．
當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n=2n-3-a₁，a_n+1=2n+a₁．
由

an2+an+12

an+an+1

≥5，得a12+3a₁≥-4n²+16n-12．…（9分）
令g（n）=-4n²+16n-12=-4（n-2）²+4．
當(dāng)n=2時，g（n）_min=4，所以a12+3a₁≥4．
解得a₁≥1或a₁≤-4．…（11分）
綜上所述，a₁的取值范圍是（-∞，-4]∪[2，+∞）．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查數(shù)列的首項的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．