Question

已知函數(shù)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂都有λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)[f(x₁)－f(x₂)]和|f(x₁)－f(x₂)|≤|x₁－x₂|，其中λ是大于0的常數(shù)．設(shè)實(shí)數(shù)a₀，a，b滿足f(a₀)=0和b=a－λf(a)

(Ⅰ)證明λ≤1，并且不存在b₀≠a₀，使得f(b₀)=0；

(Ⅱ)證明(b－a₀)²≤(1－λ²)(a－a₀)²；

(Ⅲ)證明[f(b)]²≤(1－λ²)[f(a)]²．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力． 　　證法一：(I)任取 和② 可知， 從而．假設(shè)有①式知 ∴不存在 (II)由③ 可知④ 由①式，得⑤ 由和②式知，⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (III)由③式可知 (用②式) (用①式) 　　證法二：題目中涉及了八個(gè)不同的字母參數(shù)以及它們的抽象函數(shù)值．參數(shù)量太多，讓考生們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)難以理清頭緒．因而解決問題的關(guān)鍵就在于“消元”——把題設(shè)條件及欲證關(guān)系中的多個(gè)參數(shù)量轉(zhuǎn)化為某幾個(gè)特定變量來表示，然而再進(jìn)行運(yùn)算證明．“消元”的模式并不難唯一，這里提供一個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)解答不同的“消元”設(shè)想，供參考． 題設(shè)中兩個(gè)主要條件是關(guān)于與的齊次式．而點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，是連接這兩點(diǎn)的弦的斜率．若欲證的不等式關(guān)系也能轉(zhuǎn)化為這樣的斜率表示，則可以借助斜率進(jìn)行“整體消元”． 設(shè)為不相等的兩實(shí)數(shù)，則由題設(shè)條件可得： 和． 令， 則對(duì)任意相異實(shí)數(shù)，有及，即． 由此即得；又對(duì)任意有，得函數(shù)在R上單調(diào)增，所以函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù)． 如果，則，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0452/0025/ad8f5d4e8b312aa0148d24c50b96cff3/C/Image198.gif" width=68 HEIGHT=24>，所以．即不存在，使得．于是，(Ⅰ)的結(jié)論成立． 考慮結(jié)論(Ⅱ)： 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0452/0025/ad8f5d4e8b312aa0148d24c50b96cff3/C/Image202.gif" width=88 HEIGHT=20>，故原不等式為 ； 當(dāng)時(shí)，左右兩邊相等； 當(dāng)時(shí)，，且，則原不等式即為： ， 令，則原不等式化為，即為． 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0452/0025/ad8f5d4e8b312aa0148d24c50b96cff3/C/Image212.gif" width=86 height=18>，則，所以成立，即(Ⅱ)中結(jié)論成立． 再看結(jié)論(Ⅲ)： 原不等式即， 即，注意到，則，則原不等式即為 即，令，則原不等式即化為 ，即，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0452/0025/ad8f5d4e8b312aa0148d24c50b96cff3/C/Image212.gif" width=86 height=18>，則，所以 成立，即(Ⅲ)的結(jié)論成立． 在一般的“消元”方法中，本題三個(gè)小題中不等關(guān)系的證明過程差異較大．尤其是(Ⅱ)與(Ⅲ)，許多尖子學(xué)生證明了(Ⅱ)的結(jié)論而不能解決(Ⅲ)． 借助斜率k“整體消元”的想法把(Ⅱ)、(Ⅲ)中的不等關(guān)系都轉(zhuǎn)化為相同的不等關(guān)系，然后由條件推證，有獨(dú)到之處．