Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²（a＞0），g（x）=min{x，4-x，2^x-1}，min{s，t}是取s，t中較小者．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對于任意x₁∈（1，+∞），都存在x₂∈（0，+∞），使得f（x₁）-g（x₂）=0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x＞0，a＞0；從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）由題意設A={f（x）|x＞1}，B={g（x）|x＞0}，故A?B；化簡g（x）=min{x，4-x，2^x-1}=

2x-1，0＜x＜1 x，1≤x≤2 4-x，x＞2

，從而討論求最值，從而解得．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x＞0，a＞0；
∴f（x）的減區(qū)間是（

1 2a

，+∞），增區(qū)間是（0，

1 2a

）；
f（x）_極大值=f（

1 2a

）=-

1

2

（1+ln2a）；無極小值；
（2）依題意：設A={f（x）|x＞1}，
B={g（x）|x＞0}，
故A?B；
g（x）=min{x，4-x，2^x-1}=

2x-1，0＜x＜1 x，1≤x≤2 4-x，x＞2

，
∴B=（-∞，2]；
①若

1 2a

＞1，x∈（1，+∞），f（x）∈（-∞，-

1

2

-

1

2

ln2a）=A?B；
∴-

1

2

-

1

2

ln2a≤2，
∴a≥

1

2

e^-5；
故a∈[

1

2

e^-5，

1

2

）；
②若0＜

1 2a

≤1，在x∈（1，+∞），f（x）∈（-∞，f（1））=A?（-∞，2]；
∵f（1）=-a≤2； 顯然成立，
故a≥

1

2

符合題意；
綜上所述，a≥

1

2

e^-5．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．