【題目】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若f(1)=,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1) 令x=0,y=0,可得f(0)=0; 令y=-x,f(x)=-f(-x),即命題成立.(2) 任取x1,x2∈R,且x1<x2.∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1),由x1<x2,可得f(x2-x1)>0,即f(x)為增函數(shù),進(jìn)而求出端點(diǎn)值即函數(shù)的最值.
試題解析:
(1)證明:令x=0,y=0,則f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(x)=-f(-x),即f(x)為奇函數(shù).
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2.∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1).
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,且x1<x2,∴f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)為增函數(shù),
∴當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)有最小值,f(x)min=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=-1.
當(dāng)x=6時(shí),函數(shù)有最大值,f(x)max=f(6)=6f(1)=3.
點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的奇偶性以及由單調(diào)性求函數(shù)的最值,屬于中檔題目. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則時(shí),有,事實(shí)上,若,則,這與矛盾,類似地,若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則當(dāng)時(shí)有.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)袋中裝有大小相同的球10個(gè),其中紅球8個(gè),黑球2個(gè),現(xiàn)從袋中有放回地取球,每次隨機(jī)取1個(gè).求:
(1)連續(xù)取兩次都是紅球的概率;
(2)如果取出黑球,則取球終止,否則繼續(xù)取球,直到取出黑球,取球次數(shù)最多不超過4次,求取球次數(shù)的概率分布列及期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2016高考江蘇卷】現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫,它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐,下部分的形狀是正四棱柱(如圖所示),并要求正四棱柱的高的四倍.
(1)若則倉庫的容積是多少?
(2)若正四棱柱的側(cè)棱長為6m,則當(dāng)為多少時(shí),倉庫的容積最大?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,選題情況統(tǒng)計(jì)如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯的學(xué)生中任意抽取兩人對他們的答題情況進(jìn)行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A.
(1) 求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2) 若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n都是正數(shù),求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電腦公司在甲、乙兩地各有一個(gè)分公司,甲分公司現(xiàn)有電腦6臺,乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺.現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺,B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺.已知從甲地運(yùn)往A,B兩地每臺電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元,從乙地運(yùn)往A,B兩地每臺電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和50元. 若總運(yùn)費(fèi)不超過1000元,則調(diào)運(yùn)方案的種數(shù)為
A.1 B.2
C.3 D.4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形(及其內(nèi)部)以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的, 是的中點(diǎn).
()設(shè)是上的一點(diǎn),且,求的大小;
()當(dāng)時(shí),求二面角的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程;
(Ⅱ)設(shè),其中為非零實(shí)數(shù),若有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證:.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com