Question

（2013•湛江二模）某市甲、乙兩校高二級(jí)學(xué)生分別有1100人和1000人，為了解兩校全體高二級(jí)學(xué)生期 末統(tǒng)考的數(shù)學(xué)成績(jī)情況，采用分層抽樣方法從這兩所學(xué)校共抽取105名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，并得到成績(jī)頻數(shù)分布表如下，規(guī)定考試成績(jī)?cè)赱120，150]為優(yōu)秀．
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數(shù)	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數(shù)	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x與y的值；
（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，問是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)？
（3）若以樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從乙�？傮w中任取3人（每次抽取看作是獨(dú)立重復(fù)的），求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．（注：概率值可用分?jǐn)?shù)表示）

	甲校	乙校	總計(jì)
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計(jì)

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數(shù)，做出頻率分布表中的未知數(shù)；
（2）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，把觀測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較，得到?jīng)]有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)．
（3）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和ξ～B（3，

2

5

），寫出變量的概率，做出變量的分布列，再求出變量的期望值．

解答：解：（1）由分層抽樣知，甲校抽取了105×

1100

2100

=55人成績(jī)，乙校抽取了105-55=50人成績(jī)
∴x=6，y=7；
（2）2×2列聯(lián)表如下：

	甲校	乙校	總計(jì)
優(yōu)秀	10	20	30
非優(yōu)秀	45	30	75
總計(jì)	55	50	105

∵K²=

105×(10×30-20×45)2

30×75×50×55

≈6.109＜6.635，
∴沒有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)．
（3）由題意知，乙校優(yōu)秀的概率為

2

5

，ξ的可能取值為0，1，2，3．
又ξ～B（3，

2

5

），且P（ξ=k）=C

k 3

（

2

5

）^k（

3

5

）^3-k，（k=0，1，2，3）
∴分布列為：

∴隨機(jī)變量ξ的Eξ=np=3×

2

5

=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算出觀測(cè)值，理解臨界值對(duì)應(yīng)的概率的意義，屬于基礎(chǔ)題．