【題目】如圖，三棱柱中，平面，，,點(diǎn)在線段上，且,.

（1）試用空間向量證明直線與平面不平行；

（2）設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長；

（3）在（2）的條件下，設(shè)平面平面，求直線與平面的所成角.

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，

（1）由平面可知，0，，為平面的一個(gè)法向量，，即可判定；

（2）求出平面的法向量，利用平面與平面所成的銳二面角為，，建立方程，即可求得結(jié)論．

（3）在（2）的條件下，求出直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解：依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)，則，，，，，，

（1）證明：由平面，知為平面的一個(gè)法向量，

所以

即直線與平面不平行

（2）平面的法向量，則

取，則，故

所以

解得

（3）在平面內(nèi)，分別延長，交于點(diǎn)，連接，則直線是平面與平面交線，

，

,

,

設(shè)直線與平面的所成的角是，則為平面的一個(gè)法向量，

直線與平面的所成角為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】兩地相距千米，汽車從地勻速行駛到地，速度不超過千米小時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單位：元)由可變部分和固定部分兩部分組成：可變部分與速度的平方成正比，比例系數(shù)為，固定部分為元，

(1)把全程運(yùn)輸成本(元)表示為速度(千米小時(shí))的函效:并求出當(dāng)時(shí)，汽車應(yīng)以多大速度行駛，才能使得全程運(yùn)輸成本最��；

(2)隨著汽車的折舊，運(yùn)輸成本會(huì)發(fā)生一些變化，那么當(dāng)，此時(shí)汽車的速度應(yīng)調(diào)整為多大，才會(huì)使得運(yùn)輸成本最小，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年高考剛過，為了解考生對全國2卷數(shù)學(xué)試卷難度的評價(jià)，隨機(jī)抽取了某學(xué)校50名男考生與50名女考生，得到下面的列聯(lián)表：

非常困難

一般

男考生

20

30

女考生

40

10

（1）分別估計(jì)該學(xué)校男考生、女考生覺得全國2卷數(shù)學(xué)試卷非常困難的概率；

（2）從該學(xué)校隨機(jī)抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生覺得全國2卷數(shù)學(xué)試卷非常困難的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)(是常數(shù)，且)滿足條件：，且方程有兩個(gè)相等實(shí)根．

(1)求的解析式；

(2)是否存在實(shí)數(shù)，使的定義域和值域分別為和？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線為，為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為.

（I）求證：是直角三角形；

（II）軸上是否存在一定點(diǎn)，使三點(diǎn)共線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某次綜合素質(zhì)測試中，共設(shè)有40個(gè)考室，每個(gè)考室30名考生．在考試結(jié)束后，為調(diào)查其測試前的培訓(xùn)輔導(dǎo)情況與測試成績的相關(guān)性，抽取每個(gè)考室中座位號為05的考生，統(tǒng)計(jì)了他們的成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）在這個(gè)調(diào)查采樣中，采用的是什么抽樣方法？

（2）估計(jì)這次測試中優(yōu)秀（80分及以上）的人數(shù)；

（3）寫出這40名考生成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計(jì)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]:在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，已知直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B．

(1)求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)P(1，2)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】目前，國內(nèi)很多評價(jià)機(jī)構(gòu)經(jīng)過反復(fù)調(diào)研論證，研制出“增值評價(jià)”方式。下面實(shí)例是某市對“增值評價(jià)”的簡單應(yīng)用，該市教育評價(jià)部門對本市所高中按照分層抽樣的方式抽出所(其中，“重點(diǎn)高中”所分別記為,“普通高中”所分別記為),進(jìn)行跟蹤統(tǒng)計(jì)分析，將所高中新生進(jìn)行了統(tǒng)的入學(xué)測試高考后，該市教育評價(jià)部門將人學(xué)測試成績與高考成績的各校平均總分繪制成了雷達(dá)圖.點(diǎn)表示學(xué)校入學(xué)測試平均總分大約分，點(diǎn)表示學(xué)校高考平均總分大約分，則下列敘述不正確的是（ ）

A.各校人學(xué)統(tǒng)一測試的成績都在分以上

B.高考平均總分超過分的學(xué)校有所

C.學(xué)校成績出現(xiàn)負(fù)增幅現(xiàn)象

D.“普通高中”學(xué)生成績上升比較明顯

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