Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，的周長(zhǎng)為，的面積為.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）是否存在與橢圓交于兩點(diǎn)的直線使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（I）；(2)存在， .

【解析】

試題分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，用待定系數(shù)法列的方程解得即可；（II）先假設(shè)存在直線，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去得，由得，設(shè)，則，由等價(jià)于，可得，于是可得，解得，又由得，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（I）設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，

依題意的周長(zhǎng)為，

的面積為，

又，所以，

所以橢圓的方程為；

（II）存在直線，使得成立，

利用如下：由得，

，

化簡(jiǎn)得，

設(shè)，則，

若成立，即，

等價(jià)于，所以，

，

，

化簡(jiǎn)得，，

將，，解得，

又由，，

從而，，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.