Question

拋物線y=-

1

2

x2與過點M（0，-1）的直線l相交于A、B兩點，O為坐標原點，若直線OA和OB的斜率之和為2，求直線l的方程以及線段AB的長．

Answer 1

分析：設直線l的方程為y=kx-1，交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-1 y=- 1 2 x2

，得x²+2kx-2=0，由題意可得k_OA+k_0B=2，由斜率公式韋達定理可得k的方程，解出k，從而可得直線方程，利用弦長公式可求|AB|．

解答：解：由題意，可設直線l的方程為y=kx-1，直線l與雙曲線y=-

1

2

x2的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 y=- 1 2 x2

，得x²+2kx-2=0，
則

△=4k2+8＞0 x1+x2=-2k x1x2=-2

，
∵k_OA+k_0B=2，
∴

y1

x1

+

y2

x2

=

kx1-1

x1

+

kx2-1

x2

=2，即2k-

x1+x2

x1x2

=2k-

-2k

-2

=k=2，
所以k=2，l的方程為y=2x-1，
|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

(-4)2-4×(-2)

=2

30

，
所以線段AB的長為2

30

．

點評：本題考查弦長公式、直線與圓錐曲線的位置關系，考查學生運用知識解決問題的能力．