Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為6為正方形，PA=PD，
PA⊥平面PDC，E為棱PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接BD與AC相交于點(diǎn)O，連接EO．
∵四邊形ABCD為正方形，∴O為BD中點(diǎn)．
∵E為棱PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO．
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC，
∴PB∥平面EAC．
（Ⅱ）證明：PA⊥平面PDC，∴PA⊥CD．
∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）取AD中點(diǎn)F，連接PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PF⊥平面ABCD，
又∵PA⊥平面PDC，∴PA⊥PD，∴△PAD為等腰直角三角形．
∵AD=6，∴PF=3．
∴VP-ABCD=

1

3

AB•AD•PF=

1

3

×6×6×3=36．