【題目】已知函數(shù)

(1)討論的單調(diào)性;

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),證明:

【答案】1)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.,

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

2)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析:(1)首先確定函數(shù)的定義域,之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo),之后對(duì)進(jìn)行分類討論,從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào),從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;

(2)根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論,可以確定,得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根,利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換,構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.

詳解:(1)的定義域?yàn)?/span>,.

(i)若,則,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),所以單調(diào)遞減.

(ii)若,令得,.

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.所以單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

(2)由(1)知,存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).

由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足,所以,不妨設(shè),則.由于

,

所以等價(jià)于.

設(shè)函數(shù),由(1)知,單調(diào)遞減,又,從而當(dāng)時(shí),.

所以,即.

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③若,則甲有必贏的策略; ④若,則乙有必贏的策略.

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