在平面直角坐標系中,已知
分別是橢圓
的左、右焦點,橢圓
與拋物線
有一個公共的焦點,且過點
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓
相交于
、
兩點,若
(
為坐標原點),試判斷直線
與圓
的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(Ⅰ) (Ⅱ) 直線
與圓
相切
解析試題分析:(Ⅰ) 由題意得 ,又
,結(jié)合
,可解得
的值,從而得橢圓的標準方程.(Ⅱ)設(shè)
,則
,當直線與
軸垂直時,由橢圓的對稱性易求
兩點的坐標,并判斷直線
與圓
是否相切.當直線
的不與
軸垂直時,可設(shè)其方程為
,與橢圓方程聯(lián)立方程組
消法
得:
,
,結(jié)合
,可得
與
的關(guān)系,由此可以判斷與該直線與圓
的位置關(guān)系.
試題解析:解(Ⅰ)由已知得,由題意得 ,又
, 2分
消去可得,
,解得
或
(舍去),則
,
所以橢圓的方程為
. 4分
(Ⅱ)結(jié)論:直線與圓
相切.
證明:由題意可知,直線不過坐標原點,設(shè)
的坐標分別為
(ⅰ)當直線軸時,直線
的方程為
且
則
解得,故直線
的方程為
,
因此,點到直線
的距離為
,又圓
的圓心為
,
半徑 所以直線
與圓
相切 7分
(ⅱ)當直線不垂直于
軸時,
設(shè)直線的方程為
,聯(lián)立直線和橢圓方程消去
得;
得 ,
,故
,
即① 10分
又圓的圓心為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直線l:y=x+,圓O:x2+y2=5,橢圓E:
=1(a>b>0)的離心率e=
,直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線,若切線都存在斜率,求證:兩切線的斜率之積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,橢圓的的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4,
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交于A, B兩點,若點M(
, 0),求證
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線:
.
(1)若曲線是焦點在
軸上的橢圓,求
的取值范圍;
(2)設(shè),過點
的直線
與曲線
交于
,
兩點,
為坐標原點,若
為直角,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、
軸上滑動,且
,點P在線段MN上,滿足
,記點P的軌跡為曲線W.
(1)求曲線W的方程,并討論W的形狀與的值的關(guān)系;
(2)當時,設(shè)A、B是曲線W與
軸、
軸的正半軸的交點,過原點的直線與曲線W交于C、D兩點,其中C在第一象限,求四邊形ACBD面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓(a>b>0)的離心率為
,右焦點為(
,0).
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點且斜率為k的直線與橢圓交于點A(xl,y1),B(x2,y2),若, 求斜率k是的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標系中,已知過點
的橢圓
:
的右焦點為
,過焦點
且與
軸不重合的直線與橢圓
交于
,
兩點,點
關(guān)于坐標原點的對稱點為
,直線
,
分別交橢圓
的右準線
于
,
兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點的坐標為
,試求直線
的方程;
(3)記,
兩點的縱坐標分別為
,
,試問
是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,橢圓
以
的長軸為短軸,且與
有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標原點,點A,B分別在橢圓和
上,
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案(陰影區(qū)域)”,其中、
是過拋物線
焦點
的兩條弦,且其焦點
,
,點
為
軸上一點,記
,其中
為銳角.
(1)求拋物線方程;
(2)求證:.
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