Question

【題目】已知函數(shù).

(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

(2)若對(duì)于任意的恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)m的最小值M .

(3)對(duì)于(2)中的M，正數(shù)a，b滿足，證明: .

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)， 為偶函數(shù), 當(dāng)時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，理由見解析；(2)2；(3) 證明見解析.

【解析】

(1)對(duì)分類討論,結(jié)合奇偶性的定義進(jìn)行判斷可得;

(2)將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的都成立,再構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性求出最大值即可得到答案;

(3)由(2)知,所以,再根據(jù)變形可證.

(1)(i)當(dāng)m=1時(shí)，，,

因?yàn)?/span>,

所以為偶函數(shù)；

(ii)當(dāng)時(shí),,,,,

所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

(2) 對(duì)于任意的,即恒成立，

所以對(duì)任意的都成立,

設(shè),

則為上的遞減函數(shù),

所以時(shí),取得最大值1,

所以,即.

所以.

(3)證明: 由(2)知,

，所以,

,

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，①

又

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，②

由①②得，,

所以,