精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數f(x)=x2+a(x+lnx),a∈R. (Ⅰ)若當a=﹣1時,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)> (e+1)a,求a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由題意得x∈(0,+∞); 當a=﹣1時,f(x)=x2﹣x﹣lnx, = ;
∴x∈(0,1)時,f′(x)<0,x∈(1,+∞)時,f′(x)>0;
∴f(x)的單調減區(qū)間是(0,1),單調增區(qū)間是[1,+∞);
(Ⅱ)①當a=0時,f(x)=x2>0,顯然符合題意;
②當a>0時,當 時;
f(x)<1+a+alnx ,不符合題意;
③當a<0時,則 ;
對于2x2+ax+a=0,△=a2﹣8a>0;
∴該方程有兩個不同實根,且一正一負,即存在x0∈(0,+∞),使得 ;
即f′(x0)=0;
∴0<x<x0時,f′(x)<0,x>x0時,f′(x)>0;
∴f(x)min=f(x0)= = = ;
,∴x0+2lnx0﹣(e+2)<0;
∴0<x0<e;
得, ;
設y= ,y′= ;
∴函數 在(0,e)上單調遞減;
;
綜上所述,實數a的取值范圍
【解析】(Ⅰ)a=﹣1時,求出f(x)=x2﹣x﹣lnx,通過求導,根據導數符號即可判斷出f(x)的單調區(qū)間;(Ⅱ)討論a的取值:a=0時,容易得出滿足題意;a>0時,會發(fā)現函數x2+ax在(0,+∞)上單調遞增,讓 <1,便得到f(x)<1+a+alnx ,從而這種情況不存在;當a<0時,通過求導,容易判斷出,存在x0∈(0,+∞),使f′(x0)=0,從而判斷出f(x)的最小值f(x0),再由條件f(x) 便可得到x0∈(0,e),并根據f′(x0)=0,可求出 ,從而求出a的取值范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減).

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某校高一數學研究小組測量學校的一座教學樓AB的高度已知測角儀器距離地面的高度為h米,現有兩種測量方法:

方法如圖用測角儀器,對準教學樓的頂部A,計算并記錄仰角;后退a米,重復中的操作,計算并記錄仰角

方法如圖用測角儀器,對準教學樓的頂部A底部B,測出教學樓的視角,測試點與教學樓的水平距離b米.

請你回答下列問題:

用數據,a,h表示出教學樓AB的高度;

按照方法II,用數據,b,h表示出教學樓AB的高度.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知圓心為的圓,滿足下列條件:圓心位于軸正半軸上,與直線相切,且被軸截得的弦長為,圓的面積小于13.

(1)求圓的標準方程;

(2)若點,點是圓上一點,點的重心,求點的軌跡方程;

(3)設過點的直線與圓交于不同的兩點,,以為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線,使得直線恰好平行?如果存在,求出的方程;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】己知函數.

(Ⅰ)當時,解關于x的不等式;

(Ⅱ)若不等式的解集為D,且,求m的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,平面ABCD,且,點EPD的中點.

求證:;

求證:平面AEC

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】平面直角坐標系中,直線l的參數方程 (t為參數),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,已知曲線C的極坐標方程為p2cos2θ+p2sinθ﹣2psinθ﹣3=0
(1)求直線l的極坐標方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設函數 ,對任意, ,不等式恒成立,則正數的取值范圍是__________

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦曼德爾布羅特( )在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科,它的創(chuàng)立為解決傳統眾多領域的難題提供了全新的思路.下圖是按照分型的規(guī)律生長成的一個樹形圖,則第10行的空心圓的個數是__________

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知=(2﹣sin(2x+),﹣2),=(1,sin2x),f(x)= , (x∈[0,])
(1)求函數f(x)的值域;
(2)設△ABC的內角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,若f()=1,b=1,c= , 求a的值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案