Question

如圖所示，已知A，B，C是橢圓上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E上存在兩點(diǎn)P，Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量與是否共線，并給出證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O（0，0），
∴|OC|=|AC|．又，
∴，
∵，將及C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，
∴橢圓E的方程為：．

（Ⅱ）對于橢圓上兩點(diǎn)P，Q，
∵∠PCQ的平分線總垂直于x軸，
∴PC與CQ所在直線關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，
∴直線PC的方程為，
即．①
直線CQ的方程為．②
將①代入，
得，③
∵在橢圓上，
∴是方程③的一個(gè)根．
∴，
∴，
同理可得，，
∴．
∵，
∴，
又，
∴，
∴k_AB=k_PQ，∴向量與向量共線．
分析：（Ⅰ）根據(jù)|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O可推斷出|OC|=|AC|，進(jìn)而根據(jù)求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，將a及C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)∠PCQ的平分線總垂直于x軸，可知PC與CQ所在直線關(guān)于直線對稱，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，進(jìn)而可表示出直線PC的方程和直線CQ的方程分別于橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)且在橢圓上，可利用韋達(dá)定理求得x_Q和x_p的表達(dá)式，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，則直線AB的斜率可求得，進(jìn)而可知k_AB=k_PQ，推斷出向量與向量共線．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．