Question

【題目】已知函數(shù)，a為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性：

（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析

【解析】

(1)求導后分子所對應的二次函數(shù),分情況討論的正負以及根與1的大小關(guān)系即可.

(2)由(1)的兩個極值點,滿足,所以,,則,將化簡整理為的函數(shù)即,構(gòu)造函數(shù)求導證明不等式即可.

（1）函數(shù)的定義城為.

由題意,.

（ⅰ）若,則,于是,當且僅當時,,所以在單調(diào)遞減.

（ⅱ）若,由,得或,

當時,；

當時,；

所以在,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.

（ⅲ）若,則,

當時,；當時,；

所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增

綜上所述,當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增；

當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知,有兩個極值點當且僅當.

由于的兩個極值點,滿足,所以,,則,

由于.

設(shè)

.

.

當時,,所以.

所以在上單調(diào)遞減,又.

所以,即.