Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左，右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)．曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F₂為焦點(diǎn)的拋物線，過點(diǎn)F₁的直線l交曲線C于x軸上方兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，設(shè)

F1P

=λ

F1Q

．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求△F₁AF₂的內(nèi)切圓的方程；
（Ⅲ）若λ=

1

4

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)，由此可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）確定△F₁AF₂是等邊三角形，求出△F₁AF₂的內(nèi)切圓的圓心與半徑，可得△F₁AF₂的內(nèi)切圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)l的方程代入C，由△＞0可得0＜k＜1，根據(jù)

F1P

=λ

F1Q

，結(jié)合韋達(dá)定理，可求直線的斜率，從而可得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F₂（1，0），∴

p

2

=1．…（2分）
∴拋物線C的方程為y²=4x．               …（3分）
（Ⅱ）∵F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），B(0，

3

)，∴△F₁AF₂是等邊三角形．
∴△F₁AF₂的內(nèi)切圓的圓心為(0，

3

3

)，半徑為

3

3

，…（5分）
∴△F₁AF₂的內(nèi)切圓的方程為x2+(y-

3

3

)2=

1

3

．           …（6分）
（Ⅲ）設(shè)l：y=k（x+1），k＞0，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁）．
將l代入C得：k²x²+（2k²-4）x+k²=0．             …（8分）
∵l與C有那樣的兩個(gè)交點(diǎn)，∴由△＞0可得0＜k＜1．
∵

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂．        …（9分）
又

y12

y22

=

4x1

4x2

=

x1

x2

，根據(jù)x₁x₂=1可得：x₁=λ，x2=

1

λ

．      …（10分）
當(dāng)λ=

1

4

時(shí)，根據(jù)x1+x2=-

2k2-4

k2

=-2+

4

k2

得k=

4

5

．        …（11分）
∴直線l的方程為4x-5y+4=0．                       …（12分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形的內(nèi)切圓，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．