【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是菱形,側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C,A1B=AB=AA1=2,△AA1C1的面積為 ,且∠AA1C1為銳角.
(I) 求證:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵側(cè)面AA1C1C是菱形,且A1B=AB=AA1=2,
∴AA1=A1C1=C1C=CD=2,△AA1B是等邊三角形,
取AA1的中點(diǎn)D,連結(jié)DB、DC1 , 則AA1⊥BD,
由 = =2sin∠AA1C1= ,
得sin∠AA1C1= ,
又∠AA1C1為銳角,
∴∠AA1C1=60°,
∴△AA1C1是等邊三角形,且AA1⊥C1D,
又∵BD平面BC1D,C1D平面BC1D,BD∩C1D=D,
∴AA1⊥平面BC1D,
∴AA1⊥BC1 .
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知AA1⊥BD,
又∵側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C,
側(cè)面ABB1A1∩側(cè)面AA1C1C=AA1 , BD平面ABB1A1 ,
∴BD⊥平面AA1C1C,
以D為原點(diǎn),C1D為x軸,DA1為y軸,DB為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,﹣1,0),A1(0,1,0),C1(﹣ ,0,0),B(0,0, ),D(0,0,0),
, =(0,1, ),
=(0,0, )是平面ACC1的一個(gè)法向量,
設(shè) =(x,y,z)是平面ABC的一個(gè)法向量,
則 ,令z=1,得 =(1,﹣ ,1),
∴cos< >= = = ,
∴銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出△AA1B是等邊三角形,取AA1的中點(diǎn)D,則AA1⊥BD,再推導(dǎo)出△AA1C1是等邊三角形,且AA1⊥C1D,由此能證明AA1⊥BC1 . (Ⅱ)以D為原點(diǎn),C1D為x軸,DA1為y軸,DB為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,A是函數(shù)f(x)=2x的圖象上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)A作直線平行于x軸,交函數(shù)g(x)=2x+2的圖象于點(diǎn)B,若函數(shù)f(x)=2x的圖象上存在點(diǎn)C使得△ABC為等邊三角形,則稱A為函數(shù)f(x)=2x上的好位置點(diǎn).函數(shù)f(x)=2x上的好位置點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.大于2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,傾斜角為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn),且滿足,其中為實(shí)數(shù).當(dāng)直線平行于軸時(shí),對(duì)應(yīng)的.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)變化時(shí),是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三一班舉辦消防安全知識(shí)競(jìng)賽,分別選出3名男生和3名女生組成男隊(duì)和女隊(duì),每人一道必答題,答對(duì)則為本隊(duì)得10分,答錯(cuò)與不答都得0分,已知男隊(duì)每人答對(duì)的概率依次為 , , ,女隊(duì)每人答對(duì)的概率都是 ,設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響,用X表示男隊(duì)的總得分.
(I) 求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X);
(Ⅱ)求在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下,男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)= (a>0,且a≠1)的值域?yàn)椋ī仭蓿?∞),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(3,+∞)
B.(0, ]
C.(1,3)
D.[ ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 :,點(diǎn) , 分別是橢圓 的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),點(diǎn) 是 : 上的動(dòng)點(diǎn),若 是常數(shù),則橢圓 的離心率為________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C.
(1)求∠C
(2)若△ABC的面積為5 ,b=5,求sinA.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C.
(1)求∠C
(2)若△ABC的面積為5 ,b=5,求sinA.
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【題目】已知,命題對(duì),不等式恒成立;命題對(duì),不等式恒成立.
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若為假,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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