【題目】在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓O的直徑,EF是上底面圓O′的直徑,F(xiàn)B是圓臺的一條母線.
(1)已知G,H分別為EC,F(xiàn)B的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB= AC=2 ,AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.
【答案】
(1)證明:取FC中點(diǎn)Q,連結(jié)GQ、QH,
∵G、H為EC、FB的中點(diǎn),
∴GQ ,QH ,
又∵EF∥BO,∴GQ∥BO,
∴平面GQH∥平面ABC,
∵GH面GQH,∴GH∥平面ABC.
(2)解:∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又∵OO′⊥面ABC,
∴以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OO′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A( ,0,0),C(﹣2 ,0,0),B(0,2 ,0),O′(0,0,3),F(xiàn)(0, ,3),
=(﹣2 ,﹣ ,﹣3), =(2 ,2 ,0),
由題意可知面ABC的法向量為 =(0,0,3),
設(shè) =(x0,y0,z0)為面FCB的法向量,
則 ,即 ,
取x0=1,則 =(1,﹣1,﹣ ),
∴cos< , >= =﹣ .
∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是銳角,
∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值為 .
【解析】(1)取FC中點(diǎn)Q,連結(jié)GQ、QH,推導(dǎo)出平面GQH∥平面ABC,由此能證明GH∥平面ABC.(2)由AB=BC,知BO⊥AC,以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OO′為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.
(1)求最后取出的是正品的概率;
(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機(jī)詢問100性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動,得到如下2×2列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計 | |
愛好 | 40 | ||
不愛好 | 25 | ||
總計 | 45 | 100 |
(1)將題中的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)能否有99%的把握認(rèn)為斷愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)?請說明理由;
附:K2= ,
p(K2≥k0) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(3)利用分層抽樣的方法從以上愛好該項(xiàng)運(yùn)動的大學(xué)生中抽取6人組建了“運(yùn)動達(dá)人社”,現(xiàn)從“運(yùn)動達(dá)人設(shè)”中選派3人參加某項(xiàng)校際挑戰(zhàn)賽,記選出3人中的女大學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣4|;
(1)解不等式f(x)≥1;
(2)若對x∈R,都有f(x)+3|x﹣2|>m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a,b∈R,c∈[0,2π),若對任意實(shí)數(shù)x都有2sin(3x﹣ )=asin(bx+c),定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點(diǎn)個數(shù)是d個,則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組(a,b,c,d)的組數(shù)為( )
A.7
B.11
C.14
D.28
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) | [0.6,0.7) |
頻數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | [0,0.1) | [0.1,0.2) | [0.2,0.3) | [0.3,0.4) | [0.4,0.5) | [0.5,0.6) |
頻數(shù) | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
⑴在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭
⑵估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率;
⑶估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程是.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與曲線相交于,兩點(diǎn),且,求直線的傾斜角的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù) 和的圖象如圖
給出下列四個命題:
①方程有且僅有個根;②方程有且僅有個根;
③方程有且僅有個根;④方程有且僅有個根;
其中正確命題的序號是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新能源汽車的春天來了!2018年3月5日上午,李克強(qiáng)總理做政府工作報告時表示,將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車,他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實(shí)際銷量如下表:
月份 | 2017.12 | 2018.01 | 2018.02 | 2018.03 | 2018.04 |
月份編號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(萬輛) | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)經(jīng)分析,可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷?shí)際銷量(萬輛)與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量;
(2)2018年6月12日,中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程(新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠(yuǎn)里程)對購車補(bǔ)貼進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買新能源汽車的消費(fèi)群體十分龐大,某調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的200名消費(fèi)者的購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
補(bǔ)貼金額預(yù)期值區(qū)間(萬元) | ||||||
20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
將頻率視為概率,現(xiàn)用隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費(fèi)者中隨機(jī)抽取3人,記被抽取3人中對補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù):①回歸方程,其中,,②,.
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