設(shè){
an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前
n項(xiàng)和為
Sn,并且對于所有的自然數(shù)
n,
an與2的等差中項(xiàng)等于
Sn與2的等比中項(xiàng).
(1)寫出數(shù)列{
an}的前3項(xiàng).
(2)求數(shù)列{
an}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程).
(3)令
bn=
(
n∈N
*),求
(
b1+
b2+
b3+…+
bn-
n).
(1) 數(shù)列的前3項(xiàng)為2,6,10 ,(2) an=4n-2 ,(3)1
(1)由題意,當(dāng)
n=1時,有
,
S1=
a1,
∴
,解得
a1=2
當(dāng)
n=2時,有
,
S2=
a1+
a2,將
a1=2代入,整理得(
a2-2)
2=16,由
a2>0,解得
a2=6.
當(dāng)
n=3時,有
,
S3=
a1+
a2+
a3,
將
a1=2,
a2=6代入,整理得(
a3-2)
2=64,由
a3>0,解得
a3=10.
故該數(shù)列的前3項(xiàng)為2,6,10.
(2)解法一:由(1)猜想數(shù)列{
an}
有通項(xiàng)公式
an=4
n-2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{
an}的通項(xiàng)公式是
an=4
n-2,(
n∈N
*).
①當(dāng)
n=1時,因?yàn)?×1-2=2,,又在(1)中已求出
a1=2,所以上述結(jié)論成立
②假設(shè)當(dāng)
n=
k時,結(jié)論成立,即有
ak=4
k-2,由題意,有
,將
ak=4
k-2. 代入上式,解得2
k=
,得
Sk=2
k2,
由題意,有
,
Sk+1=
Sk+
ak+1,
將
Sk=2
k2代入得(
)
2=2(
ak+1+2
k2),
整理得
ak+12-4
ak+1+4-16
k2=0,由
ak+1>0,解得
ak+1=2+4
k,
所以
ak+1=2+4
k=4(
k+1)-2,
即當(dāng)
n=
k+1時,上述結(jié)論成立.
根據(jù)①②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)
n∈N
*成立.
解法二:由題意知
,(
n∈N
*)
整理得,
Sn=
(
an+2)
2,
由此得
Sn+1=
(
an+1+2)
2,∴
an+1=
Sn+1-
Sn=
[(
an+1+2)
2-(
an+2)
2].
整理得(
an+1+
an)(
an+1-
an-4)=0,
由題意知
an+1+
an≠0,∴
an+1-
an=4,
即數(shù)列{
an}為等差數(shù)列,其中
a1=2,公差
d=4.
∴
an=
a1+(
n-1)
d=2+4(
n-1),即通項(xiàng)公式為
an=4
n-2.
解法三:由已知得
,(
n∈N
*) 、,
所以有
、,
由②式得
,
整理得
Sn+1-2
·
+2-
Sn=0,
解得
,
由于數(shù)列{
an}為正項(xiàng)數(shù)列,而
,
因而
,
即{
Sn}是以
為首項(xiàng),以
為公差的等差數(shù)列.
所以
=
+(
n-1)
=
n,
Sn=2
n2,
故
an=
即
an=4
n-2(
n∈N
*).
(3)令
cn=
bn-1,則
cn=
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項(xiàng)之和為85,偶數(shù)項(xiàng)之和為170,則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
數(shù)列
中,
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知等差數(shù)列
的首項(xiàng)為
a,公差為
b;等比數(shù)列
的首項(xiàng)為
b,公比為
a,其中
a,
,且
.
(1)求
a的值;
。2)若對于任意
,總存在
,使
,求
b的值;
。3)在(2)中,記
是所有
中滿足
,
的項(xiàng)從小到大依次組成的數(shù)列,又記
為
的前
n項(xiàng)和,
的前
n項(xiàng)和,求證:
≥
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)已知函數(shù)
.(Ⅰ) 求
f –1(
x);(Ⅱ) 若數(shù)列{
an}的首項(xiàng)為
a1=1,
(
nÎ
N+),求{
an}的通項(xiàng)公式
an;(Ⅲ) 設(shè)
bn=
an+12+
an+22+¼+
a2n+12,是否存在最小的正整數(shù)
k,使對于任意
nÎ
N+有
bn<
成立.若存在,求出
k的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè){an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2·b4=a3,分別求出{an}及{bn}的前n項(xiàng)和S10及T10.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)數(shù)列
和數(shù)列
由下列條件確定:
①
;
②當(dāng)
時,
與
滿足如下條件:當(dāng)
時,
;當(dāng)
時,
。
解答下列問題:
(Ⅰ)證明數(shù)列
是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
;
(Ⅲ)
是滿足
的最大整數(shù)時,用
表示n的滿足的條件。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列
滿足
,
,
.
⑴求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
⑵求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;
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