Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{M_n}滿(mǎn)足條件：M₁=S t1，當(dāng)n≥2時(shí)，M_n=S tn-S tn-1，其中數(shù)列{t_n}單調(diào)遞增，且t_n∈N^*．
（1）若a_n=n，
①試找出一組t₁、t₂、t₃，使得M₂²=M₁M₃；
②證明：對(duì)于數(shù)列a_n=n，一定存在數(shù)列{t_n}，使得數(shù)列{M_n}中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方；
（2）若a_n=2n-1，是否存在無(wú)窮數(shù)列{t_n}，使得{M_n}為等比數(shù)列．若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列{t_n}；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）①試寫(xiě)出一組即可，M₁=S₁=1，M₂=S₄-S₁=9，M₃=S₁₃-S₄=81，即得結(jié)論成立；②利用①的結(jié)論證明即可；
（2）利用反證法加以證明即可．

解答： 解：（1）若a_n=n，則S_n=

n2+n

2

，
①取M₁=S₁=1，M₂=S₄-S₁=9，M₃=S₁₃-S₄=81，滿(mǎn)足條件M₂²=M₁M₃，
此時(shí)t₁=1，t₂=4，t₃=13．
②由①知t₁=1，t₂=1+3，t₃=1+3+3²，則M₁=1，M₂=3²，M₃=9²，
一般的取t_n=1+3+3²+…+3^n-1=

3n-1

2

，
此時(shí)Stn=

3n-1 2 (1+ 3n-1 2 )

2

，Stn-1=

3n-1-1 2 (1+ 3n-1-1 2 )

2

則M_n=S tn-S tn-1=

3n-1 2 (1+ 3n-1 2 )

2

-

3n-1-1 2 (1+ 3n-1-1 2 )

2

=（3^n-1）²，
所以M_n為一整數(shù)平方．
因此存在數(shù)列{t_n}，使得數(shù)列{M_n}中的各數(shù)均為一個(gè)整數(shù)的平方．
（3）假設(shè)存在數(shù)列{t_n}，使得{M_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q．
因?yàn)镾_n=n²，所以S tn=t_n²，則M₁=t₁²，當(dāng)n≥2時(shí)，M_n=t_n²-t_n-1²=q^n-1 t₁²，
因?yàn)閝為正有理數(shù)，所以設(shè)q=

r

s

（r，s為正整數(shù)，且r，s既約）．
因?yàn)閠_n²-t_n-1²必為正整數(shù)，由于r，s既約，所以

t 2 1

sn-1

必為正整數(shù)．
若s≥2，且{t_n}為無(wú)窮數(shù)列，則當(dāng)n＞log_st₁²+1時(shí)，

t 2 1

sn-1

＜1，這與

t 2 1

sn-1

為正整數(shù)相矛盾．
于是s=1，即q為正整數(shù)．
注意到t₃²=M₃+M₂+M₁=M₁（1+q+q²）=t₁² （1+q+q²），于是

t 2 3

t 2 1

=1+q+q²．
因?yàn)?+q+q²∈N^*，所以

t 2 3

t 2 1

∈N^*．
又

t3

t1

為有理數(shù)，從而

t3

t1

必為整數(shù)，即1+q+q²為一整數(shù)的平方．
但q²＜1+q+q²＜（q+1）²，即1+q+q²不可能為一整數(shù)的平方．
因此不存在滿(mǎn)足條件的數(shù)列{t_n}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力．對(duì)于新構(gòu)造的函數(shù)，可以嘗試列舉，
了解構(gòu)造的過(guò)程和含義，從中觀(guān)察發(fā)現(xiàn)規(guī)律或?qū)ふ彝黄瓶冢畬?duì)于存在性問(wèn)題，也可以考慮先從特殊情況入手尋找突破口．屬難題．