Question

設(shè)函數(shù)，證明：
（Ⅰ）對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足；
（Ⅱ）對(duì)任意，由（Ⅰ）中構(gòu)成的數(shù)列滿足.

Answer 1

見(jiàn)解析

（1）對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，
而，當(dāng)時(shí)，，
故，
又

所以對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足
當(dāng)時(shí)，，并由（1）知

由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，
從而對(duì)任意,
對(duì)任意，
    ①
 ②
①②并移項(xiàng)，利用，得

因此，對(duì)任意，.
本題考查的是數(shù)列函數(shù)，而且含雙變量，考生在做題的過(guò)程中需要冷靜的處理好每個(gè)變量.第（1）題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，要證明對(duì)每個(gè)，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，一方面要證明函數(shù)是單調(diào)的，求導(dǎo)即可，另一方面要判斷的正負(fù)問(wèn)題，此題難點(diǎn)在于判斷的正負(fù)時(shí)，要利用放縮的思想，將這個(gè)數(shù)列函數(shù)放縮到可以利用等比數(shù)列求和，從而證明此函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；第（2）題要將數(shù)列從數(shù)列函數(shù)中分離出來(lái)，就要通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，由，在內(nèi)單調(diào)遞增，確定，則不等式左半邊成立，右半邊通過(guò)作差，數(shù)列放縮確定最終.本題屬于較難題.
【考點(diǎn)定位】考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)的判定，等比數(shù)列的求和，不等式的放縮等知識(shí).