Question

（本小題滿分13分）如圖是某直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖，俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.

（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：AN∥平面CME；
（3）求證：平面BDE⊥平面BCD

Answer 1

(1)4 ；(2)連接MN，則MN∥CD，且.又AE∥CD，且，
∴∥，=∴四邊形ANME為平行四邊形，∴AN∥EM.∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME  (3)∵AC＝AB，N是BC的中點(diǎn)，∴AN⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD則(2)知：AN∥EM,∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD 

試題分析：(1)由題意可知：四棱錐B－ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，
AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，  …………2分
則四棱錐B－ACDE的體積為：，
即該幾何體的體積為4    …………4分
(2)證明：由題圖知，連接MN，則MN∥CD，

且.又AE∥CD，且，                    …………6分
∴∥，=∴四邊形ANME為平行四邊形，∴AN∥EM.
∵AN平面CME，EM平面CME，∴AN∥平面CME         ……………8分
(3)證明：∵AC＝AB，N是BC的中點(diǎn)，∴AN⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD                      …………10分
則(2)知：AN∥EM,
∴EM⊥平面BCD，又EM平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD       ……13分
點(diǎn)評：高考中常考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及幾何體體積的計(jì)算，這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理.