Question

【題目】已知圓C：（x+1）2+y2=20，點B（l，0）．點A是圓C上的動點，線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P．
（1）求動點P的軌跡C1的方程；
（2）設 ，N為拋物線C2：y=x2上的一動點，過點N作拋物線C2的切線交曲線Cl于P，Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，

點P滿足

∴動點P的軌跡C1是一個橢圓，其中 ，2c=2

∴動點P的軌跡C1的方程為 ．

（2）解：設N（t，t2），則PQ的方程為：y﹣t2=2t（x﹣t），

整理，得y=2tx﹣t2，

聯(lián)立方程組 ，消去y整理得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，

有 ，

而 ，

點M到PQ的高為 ，

由 代入化簡得：

即 ；

當且僅當t2=10時，S△MPQ可取最大值 ．

當直線的斜率不存在時，x=t，S△MPQ= ．

∴S△MPQ最大值 ．

【解析】（1）由已知可得動點P的軌跡C1是一個橢圓，其中 ，2c=2，由此能求出動點P的軌跡C1的方程．（2）設N（t，t2），則PQ的方程為y=2tx﹣t2 ， 聯(lián)立方程組 ，得：（4+20t2）x2﹣20t3x+5t4﹣20=0，由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式、弦長公式，結合已知條件能求出三角形面積的最大值．