Question

設(shè)函數(shù)f（x）=px²+qx-

q

x

是奇函數(shù)，其中p，q是常數(shù)，且q≠0．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，

π

2

]上的最大值與最小值．（用q表示）

Answer 1

分析：（I）由f（x）為奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x），代入后根據(jù)多項式相等的充要條件，可得p的值；
（Ⅱ）由（I）可得f（x）的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析出函數(shù)的單調(diào)性后，進而可由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間
（III）由（II）可得當(dāng)q＜0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)q＞0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，結(jié)合sinx+cosx在x∈[0，

π

2

]上的值域為[1，

2

]，代入可得函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）即…（1分）
即px²-qx-

q

x

=-（px²+qx-

q

x

）得2px²=0對任意x≠0恒成立…（1分）
∴p=0                              …（1分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=qx-

q

x

（q≠0）的定義域為{x|x≠0}
∵f（x）=q+

q

x2

                      …（1分）
∴當(dāng)q＜0時，f′（x）＜0恒成立，f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)   …（1分）
又∵x²-1≠0時，x≠±1，
t=x²-1在（0，1），（1，+∞）上遞增，在（-∞，-1），（-1，0）上遞減…（1分）
∴當(dāng)q＜0時，f（x²-1）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）…（2分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
當(dāng)q＜0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)
當(dāng)q＞0時，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)…（1分）
∵u=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈[0，

π

2

]…（1分）
則u∈[1，

2

]…（1分）
當(dāng)q＜0時，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=0，最小值為f（

2

）=

2

2

q…（1分）
當(dāng)q＞0時，函數(shù)f（x）的最大值為f（

2

）=

2

2

q，最小值為f（1）=0…（1分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，兩角和與差的正弦函數(shù)，函數(shù)的最值，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)比較綜合的應(yīng)用，屬于難題．