Question

設(shè)函數(shù)f（x）=px-2lnx．
（1）若p＞0，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-

p

x

在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數(shù)f（x）=px-2lnx求導(dǎo)，通過列表即可求得函數(shù)f（x）的最小值；
（2）由g（x）=f（x）-

p

x

=px-

p

x

-2lnx，可求得g′（x）=

px2-2x+p

x2

，依題意，對參數(shù)p分p=0，p＞0與p＜0討論，利用函數(shù)恒成立問題即可求得各自情況下p的范圍，從而可得P的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=p-

2

x

=

px-2

x

，令f′（x）=0，得x=

2

p

．
∵p＞0，列表如下，

從上表可以得，當x=

2

p

時，f（x）有極小值2-2ln

2

p

．（4分）
又此極小值也為最小值，所以當x=

2

p

時，f（x）有最小值2-2ln

2

p

．（5分）
（2）因為g（x）=f（x）-

p

x

=px-

p

x

-2lnx，則g′（x）=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

，
由函數(shù)g（x）=f（x）-

p

x

在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)得，g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立或g′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立．
①當p=0時，g′（x）=-

2

x

＜0對x∈（0，+∞）恒成立（7分）
此時g（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，滿足要求．
②當p＞0時，g′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立得px²-2x+p≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即p≥

2x

x2+1

對x∈（0，+∞）恒成立，
∵當x∈（0，+∞）時，

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，
∴p≥1（9分）
③當p＜0時，g′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立不可能，
由g′（x）≤0對x∈（0，+∞）恒成立得px²-2x+p≤0對x∈（0，+∞）恒成立，即p≤

2x

x2+1

對x∈（0，+∞）恒成立，
∵當x∈（0，+∞）時，

2x

x2+1

＞0，
∴p≤0；
又∵p＜0，
∴此時p＜0．（11分）
綜上所述，P的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．．（12分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的綜合應(yīng)用，考查分類討論思想與化歸思想的綜合應(yīng)用，考查分析、邏輯推理與綜合運算能力，屬于難題．