Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁+a₃=10，S₄=24．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式； 
（2）令T_n=

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，建立方程組，求出首項和公差，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式； 
（2）利用裂項法，即可求T_n=

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）∵a₁+a₃=10，S₄=24，
∴

2a1+2d=10 4a1+ 4×3 2 d=24

，解得

a1=3 d=2

，
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3+（n-1）×2=2n+1； 
（2）S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2），
則

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
則T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

），
即T_n=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的求和，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．