Question

已知動圓C過點M（0，

3

），且與圓N：x²+(y+

3

)2=16相內(nèi)切．
（1）求圓心C的軌跡方程；
（2）設(shè)點A（1，0），點B在拋物線：y=x²+h（h∈R）上，以點B為切點作這條拋物線的切線l．使直線l與（1）中圓心C的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點，若線段AB的中點與線段EF的中點橫坐標(biāo)相等，求h的最小值．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應(yīng)用,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，得CM+CN=4＞2

3

，圓心C的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，且a=2，c=

3

，b=1，即可得出橢圓的方程．
（2）設(shè)出E，F(xiàn)，B的坐標(biāo)，將直線代入橢圓，聯(lián)立方程組，根據(jù)△判斷最值即可．

解答： 解：（1）由題意得CM+CN=4＞2

3

，
∴圓心C的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，且a=2，c=

3

，b=1，
∴所求的橢圓方程為

y2

4

+x2=1；
（2）不妨設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），B（t，t²+h），
則拋物線C₂在點B處的切線斜率為y'|_x=t=2t，
直線EF的方程為y=2tx-t²+h，將上式代入橢圓C₁的方程中，
得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
因為直線EF與橢圓C₁有兩個不同的交點，
所以有△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，
設(shè)線段EF的中點的橫坐標(biāo)是x₃，則x₃=

t(t2-h)

(1+t2)

，
設(shè)線段AB的中點的橫坐標(biāo)是x₄，則x₄=

t+1

2

，由題意得x₃=x₄，
即有t²+（1+h）t+1=0，
其中的△₂=（1+h）²-4≥0，∴h≥1或h≤-3；
當(dāng)h≤-3時有h+2＜0，4-h²＜0，
因此不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0不成立；
因此h≥1，當(dāng)h=1時代入方程t²+（1+h）t+1=0得t=-1，
將h=1，t=-1代入不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0成立，因此h的最小值為1．

點評：本題考查圓錐圖象的綜合利用，橢圓方程的應(yīng)用，通過構(gòu)造一元二次方程，利用根的判別式計算，屬于中檔題．