如圖,在四棱錐P­ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一點(diǎn).
(1)求證:AC⊥DE;
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為,若E為PB的中點(diǎn),求EC與平面PAB所成角的正弦值.
(1)證明見(jiàn)解析;(2)

試題分析:
解題思路:(1)利用線面垂直的性質(zhì)推得線線垂直:(2)建立空間坐標(biāo)系,利用二面角A­PB­D的余弦值為,求出PD;進(jìn)而利用空間向量求線面角的正弦值.
規(guī)律總結(jié):對(duì)于空間幾何體中的垂直、平行關(guān)系的判定,要牢牢記住并靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化,線線關(guān)系是關(guān)鍵;涉及夾角、距離問(wèn)題以及開(kāi)放性問(wèn)題,要注意利用空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.
試題解析:(1)證明:∵PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴PD⊥AC,
∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,
∵DE?平面PBD,∴AC⊥DE.
(2)在△PDB中,EO∥PD,∴EO⊥平面ABCD,分別以O(shè)A,OB,OE所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PD=t,則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),,P(0,-,t),=(-1,,0),=(-1,-,t).

由(1)知,平面PBD的一個(gè)法向量為n1=(1,0,0),設(shè)平面PAB的法向量為n2=(x,y,z),則根據(jù),
,令y=1,得平面PAB的一個(gè)法向量為
∵二面角A­PB­D的余弦值為,
則|cos〈n1,n2〉|=,即
,解得t=2或t=-2 (舍去),
∴P(0,-,2).
設(shè)EC與平面PAB所成的角為θ,
=(-1,0,-),n2=(,1,1),
則sin θ=|cos〈,n2〉|=,
∴EC與平面PAB所成角的正弦值為.
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(1)·;
(2)·;
(3)EG的長(zhǎng);
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