已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù)) .
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值;
(2)當(dāng)時,討論方程根的個數(shù).
(3)若,且對任意的,都有,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)當(dāng)時,;
(2)當(dāng)時,即時,方程有2個相異的根;當(dāng)或時,方程有一個根;當(dāng)時,方程有0個根.
(3).
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時,,利用的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,并求出其最大值.
(2)由題意,方程根的個數(shù)等于時,方程根的個數(shù),
設(shè),問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)的個數(shù)問題;可通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值利用數(shù)形結(jié)合法解決;
(3)當(dāng)時,在時是增函數(shù),又函數(shù)是減函數(shù),不妨設(shè),則等價于,即,故原命題等價于函數(shù)在時是減函數(shù).
試題解析:【解析】
(1),當(dāng)時,.當(dāng)時,,又,故,當(dāng)時取等號.
(2)易知,故,方程根的個數(shù)等于時,方程根的個數(shù).
設(shè),
當(dāng)時,,函數(shù)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)遞增.
又,作出與直線的圖象,由圖象知:
當(dāng)時,即時,方程有2個相異的根;
當(dāng)或時,方程有一個根;
當(dāng)時,方程有0個根.
(3)當(dāng)時,在時是增函數(shù),又函數(shù)是減函數(shù),不妨設(shè),則等價于,即,故原命題等價于函數(shù)在時是減函數(shù),所以恒成立,即在時恒成立.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022606040071058755/SYS201502260604080232899157_DA/SYS201502260604080232899157_DA.044.png">在時是減函數(shù),所以.
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用;2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根;3、等價轉(zhuǎn)化的思想與數(shù)形結(jié)合的思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省衡陽市高三上學(xué)期五校聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
在200m高的山頂上,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°、60°,則塔高為( )
A.m B.m C.m D.m
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三上學(xué)期第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),若方程有兩個不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三上學(xué)期第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,是的前項(xiàng)和,若是方程的兩個根,則 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省益陽市高三上學(xué)期第三次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知等比數(shù)列中,,則等于( )
A.36 B.216 C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知命題:函數(shù)為上單調(diào)減函數(shù),實(shí)數(shù)滿足不等式.命題:當(dāng),函數(shù).若命題是命題的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,過原點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,將軸下方的圖形沿軸折起,使之與軸上方的圖形成直二面角,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,線段的長度記為,則
函數(shù)的圖像大致是( )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省婁底市名校高三9月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,0<φ<的圖象如圖所示.則:函數(shù)y=f(x)的解析式為________;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖北省高三上學(xué)期第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)在處取得極值10,則取值的集合為 .
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