設(shè)f（x）的定義域（0，+∞），對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0，f(
1
2
)=-1．
（1）求f（2）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式f(x)≥2+f(
p
x-4
)，其中p＞-1．
分析：（1）利用賦值法，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 m=2，n=
1
2
，即可求出 f(
1
2
)的值；
（2）先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x1，x2，并規(guī)定大小，然后判定出f（x1），與f（x2）的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論；
（3）將f(x)≥2+f(
p
x-4
)轉(zhuǎn)化為f(x)≥f(
4p
x-4
)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域建立關(guān)系式，解之即可．
解答：解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=
1
2
，則 f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)，
∴f（2）=1（4分）
（2）設(shè)0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0
∴f(
x2
x1
)＞0（6分）
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)＞f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)（10分）
（3）∵f（2）=1得2=f（2）+f（2）=f（4）
又f(x)≥2+f(
p
x-4
)
可化為：f(x)≥f(
4p
x-4
)
由y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
原不等式可化為：
x≥
4p
x-4
4p
x-4
＞0

當(dāng)p＞0時(shí)，解之得：x≥2+2
1+p
．
當(dāng)-1＜p＜0時(shí)，解之得：2-2
1+p
≤x≤2+2
1+p
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明及應(yīng)用，屬于中檔題．
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設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞）上的奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=x2+1，則f（x）的解析式為
 
．

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18、設(shè)F（x）的定義域?yàn)镽，且滿足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足下述條件：①f（x）是奇函數(shù)；②f（x+2）是偶函數(shù)；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）設(shè)G（x）=f（x+4），判斷G（x）的奇偶性并證明；（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≤1．

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設(shè)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)x都滿足f（-x）=-f（x）．已知當(dāng)x＞0時(shí)f(x)=
x
1-2x

（1）求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的解析式   （2）解不等式f(x)＜-
x
3
．

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設(shè)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f（x2）的定義域是（　　）

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設(shè)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且對(duì)任意正數(shù)x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判斷函數(shù)F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），比較f（x1）+f（x2）與f（x1+x2）的大小，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比較f（x1）+f（x2）+…+f（xn）與f（x1+x2+…+xn）的大小，并證明你的結(jié)論．

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