Question

（本小題滿分14分）

   在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于

坐標(biāo)原點O.橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10。

  （1）求圓C的方程；

  （2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓的右焦點F的距離等于線段

OF的長，若存在求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長

【解析】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)²+(y-n)²=8

已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則

=2

即=4       ①                              

又圓與直線切于原點，將點(0，0)代入得

m²+n²=8           ②

聯(lián)立方程①和②組成方程組解得

故圓的方程為(x+2)²+(y-2)²=8

(2)=5，∴a²=25，則橢圓的方程為      +      =1

其焦距c==4，右焦點為(4，0)，那么=4。

要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓(x─4)²+y²=8與(1)所求的圓的交點數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點的點Q(，)，使得該點到右焦點F的距離等于的長。