Question

已知數(shù)列{a_n}通項公式為an=λn2+2n+1，求證數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是λ=0．

Answer 1

分析：根據(jù)充要條件的定義和等差數(shù)列的定義進行證明即可．

解答：解：充分性：若λ=0，則an=λn2+2n+1=2n+1，
當n≥2時，a_n-a_n-1=2n+1-（2n-2+1）=2，為常數(shù)，此時數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
必要性：若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
則當n≥2時，a_n-a_n-1=λn²+2n+1-[λ（n-1）²+2（n-1）+1]=3λ+2為常數(shù)，則必有3λ=0，即λ=0．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的充要條件是λ=0．

點評：本題主要考查充要條件的證明，根據(jù)等差數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．