Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx，求直線DE的斜截式方程；
（3）設(shè)橢圓C的弦DE的中點(diǎn)為（-1，1），求直線DE的斜截式方程；
（4）設(shè)直線l：y=x-2與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，求△OMN的面積．

Answer 1

分析：（1）由已知2a=6，

c

a

=

6

3

，能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)E(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，由

x2+3y2=9 y=kx-2

得（1+3k²）x²-12kx+3=0，由韋達(dá)定理和根的判別式能夠求出k的取值范圍．
（3）設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），由DE的中點(diǎn)為（-1，1），知x₃+x₄=-2，y₃+y₄=2，利用點(diǎn)差法能夠求出直線DE的斜截式方程．
（4）由

y=x-2 x2 9 + y2 3 =1

，得4x²-12x+3=0，設(shè)M（x₅，y₅），N（x₆，y₆），則x5+x6=3，x5•x6=

3

4

，故|MN|=

2(32-4× 3 4 )

=2

3

，原點(diǎn)O到直線y=x-2的距離d=

2

，由此能求出△OMN的面積．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

6

3

，
橢圓C上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為6．
∴2a=6，

c

a

=

6

3

，
解得a=3，c=

6

，
所以b²=a²-c²=3…（2分）
故橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

3

=1…（3分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則中點(diǎn)為E(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)
由

x2+3y2=9 y=kx-2

，
得（1+3k²）x²-12kx+3=0，
則x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

3

1+3k2

，（5分）
∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的焦點(diǎn)，
∴△=144k²-12（1+3k²）＞0，
整理，得108k²＞12，
解得k2＞

1

9

…（6分）
（3）設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
∵DE的中點(diǎn)為（-1，1），
∴x₃+x₄=-2，y₃+y₄=2，
把D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）代入橢圓C的方程x²+3y²=9，
得

x32+3y32=9 x42+3y42=9

，
∴（x₃-x₄）（x₃+x₄）+3（y₃-y₄）（y₃+y₄）=0，
∴-2（x₃-x₄）+6（y₃-y₄）=0，
∴k=

y3-y4

x3-x4

=

1

3

，
∴直線DE的方程是：y-1=

1

3

(x+1)，
其斜截式方程為y=

1

3

x+

4

3

．
（4）由

y=x-2 x2 9 + y2 3 =1

，
得x²+3（x-2）²=9，
整理，得4x²-12x+3=0，
設(shè)M（x₅，y₅），N（x₆，y₆），
則x5+x6=3，x5•x6=

3

4

，
∴|MN|=

2(32-4× 3 4 )

=2

3

，
∵原點(diǎn)O到直線y=x-2的距離d=

|0-0-2|

2

=

2

，
∴△OMN的面積S=

1

2

×2

3

×

2

=

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．