Question

設(shè)P(x₀,y₀)是橢圓=1(a＞b＞0)上任意一點(diǎn),F₁為其左焦點(diǎn).

(1)求|PF₁|的最小值和最大值;

(2)在橢圓=1上求一點(diǎn)P,使這點(diǎn)與橢圓兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.

Answer 1

解:(1)對(duì)應(yīng)于F₁的準(zhǔn)線方程為x=－,根據(jù)橢圓的第二定義:=e,

∴|PF₁|=a+ex₀.

又－a≤x₀≤a,

∴當(dāng)x₀=－a時(shí),|PF₁|_min=a+(－a)= a－c;

當(dāng)x₀=a時(shí),|PF₁|_max=a+·a=a+c.

(2)∵a²=25,b²=5,

∴c²=20,e²=.

∵|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²,

∴(a+ex₀)²+(a－ex₀)²=4c².

將數(shù)據(jù)代入得25+x₀²=40.

∴x₀=±.代入橢圓方程得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),(,－),(－,), (－,

－).

點(diǎn)評(píng):|PF₁|、|PF₂|都是橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,稱作焦半徑,而|PF₁|=a+ex₀,|PF₂|=a－ex₀稱作焦半徑公式.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),仿照上面的推導(dǎo),焦半徑公式成為|PF₁|=a+ey₁,|PF₂|=  a－ey₁.

橢圓上距焦點(diǎn)最近或最遠(yuǎn)的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的端點(diǎn).