Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點D（1，

3

2

）．A，B分別是橢圓C的左右頂點，M為橢圓上一點，直線AM，BM分別交橢圓右準線L于P，Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求

AP

•

BQ

的值
（3）求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C的離心率求得b²=

3

4

a² ①，再由橢圓經(jīng)過點P（1，

3

2

），可得

1

a2

+

9

4b2

=1 ②，由①②解得 a²=4，b²=3，從而求得橢圓C的方程．
（2）由題意可得 A（-2，0），B（2，0），設(shè)M（2cosθ，

3

sinθ），設(shè)p（4，y₁），Q（4，y₂），由 K_AM=K_AP，求出y₁，由 K_BM=K_BQ，求出y₂，從而得到

AP

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

），

BQ

=（2，

3 sinθ

cosθ-1

），即可由數(shù)量積公式計算

AP

•

BQ

 的值．
（3）由（2）可得|y_p|•|y_q|=9，故|PQ|=|y_p-y_q |=|y_p|+|y_q|，利用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，
∴

c

a

=

a2- b 2

a

=

1

2

，∴b²=

3

4

 a²  ①．
再由橢圓經(jīng)過點D（1，

3

2

），可得

1

a2

+

9 4

b2

=1，即

1

a2

+

9

4b2

=1 ②．
由①②解得 a²=4，b²=3，故橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意可得 A（-2，0），B（2，0），∵M為橢圓上一點，可設(shè)M（2cosθ，

3

sinθ）．
∵直線AM，BM分別交橢圓右準線L于P，Q，橢圓右準線L方程為 x=4，故可設(shè)p（4，y₁），Q（4，y₂）．
由題意可得 A、M、P三點共線，可得 K_AM=K_AP，∴

3 sinθ-0

2cosθ+2

=

y1

4+2

，∴y₁=3

3

sinθ

cosθ+1

．
 再由M、B、P 三點共線，可得 K_BM=K_BQ，∴

3 sinθ-0

2cosθ-2

=

y2

4-2

，∴y₂=

3 sinθ

cosθ-1

．
∴

AP

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

），

BQ

=（2，

3 sinθ

cosθ-1

）．
∴

AP

•

BQ

=（6，3

3

sinθ

cosθ+1

）•（2，

3 sinθ

cosθ-1

）=12+3

3

sinθ

cosθ+1

•

3 sinθ

cosθ-1

=12+9

sin2θ

cos2θ-1

=12-9=3，
即

AP

•

BQ

=3．
（3）由（2）|y_p|•|y_q|=9，∴|PQ|=|y_p-y_q |=|y_p|+|y_q|≥2

|yp|•|yq

|=6，當且僅當|y_p|=|y_q|時等號成立，
故|PQ|的最小值為6．

點評：本題主要考查橢圓的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．