定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,且當(dāng)a,b∈[﹣1,1],a+b≠0時,有.
(1)試問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,若存在,求出A,B兩點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由并加以證明.
(2)若對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(1)詳見解析;(2)
解析試題分析:(1)假設(shè)函數(shù)的圖象上存在兩個不同的點,使直線恰好與軸垂直,設(shè)的橫坐標(biāo)為,且,然后證得;推出函數(shù)在上是增函數(shù),這與這與假設(shè)矛盾,可得假設(shè)不成立,命題得證.
(2)由題意可得函數(shù)的最大值小于或等于,結(jié)合(1)的過程,可求出其最大值,即整理的:.令關(guān)于的一次函數(shù)g(a)=m2+2am,則有,由此求得m的范圍.
考點:1.反證法;2.函數(shù)的恒成立問題.試題解析:解:(1)假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直,
則A、B兩點的縱坐標(biāo)相同,設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為 x1和x2,且x1<x2.
則f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=[x1+(﹣x2)].
由于 >0,且[x1+(﹣x2)]<0,∴f(x1)﹣f(x2)<0,
故函數(shù)f(x)在[﹣1,1]上是增函數(shù).
這與假設(shè)矛盾,故假設(shè)不成立,即 函數(shù)f(x)的圖象上不存在兩個不同的點A,B,使直線AB恰好與y軸垂直.
(2)由于 對所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,
∴故函數(shù)f(x)的最大值小于或等于2(m2+2am+1).
由于由(1)可得,函數(shù)f(x)是[﹣1,1]的增函數(shù),故函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=2,
∴2(m2+2am+1)≥2,即 m2+2am≥0.
令關(guān)于a的一次函數(shù)g(a)=m2+2am,則有 ,
解得 m≤﹣2,或m≥2,或 m=0,故所求的m的范圍是{m|m≤﹣2,或m≥2,或 m=0}.
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已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為,且不等式的解集為(1,3).
⑴若方程有兩個相等實數(shù)根,求的解析式.
⑵若的最大值為正數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)設(shè),其中,判斷方程在區(qū)間 上的解的個數(shù)(其中為無理數(shù),約等于且有).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下,大橋上的車流速度(單位:千米/小時)是車流密度(單位:輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時.研究表明:當(dāng)時,車流速度是車流密度的一次函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的表達式;
(2)當(dāng)車流密度為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)可以達到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時)
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據(jù)市場分析,廣饒縣馳中集團某蔬菜加工點,當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時,月生產(chǎn)總成本(萬元)可以看成月產(chǎn)量(噸)的二次函數(shù).當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時,月總成本為20萬元;當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時,月總成本最低為17.5萬元.
(1)寫出月總成本(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量(噸)的函數(shù)關(guān)系;
(2)已知該產(chǎn)品銷售價為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少時,可獲最大利潤;
(3)當(dāng)月產(chǎn)量為多少噸時, 每噸平均成本最低,最低成本是多少萬元?
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為了保護環(huán)境,某工廠在國家的號召下,把廢棄物回收轉(zhuǎn)化為某種產(chǎn)品,經(jīng)測算,處理成本(萬元)與處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為:
,且每處理一噸廢棄物可得價值為萬元的某種產(chǎn)品,同時獲得國家補貼萬元.
(1)當(dāng)時,判斷該項舉措能否獲利?如果能獲利,求出最大利潤;
如果不能獲利,請求出國家最少補貼多少萬元,該工廠才不會虧損?
(2)當(dāng)處理量為多少噸時,每噸的平均處理成本最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).
(1)求實數(shù)a的值組成的集合A;
(2)設(shè)x1、x2是關(guān)于x的方程f(x)=的兩個相異實根,若對任意a∈A及t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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