Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx

（1）若a=2. 求f(x)的極值. （2）若a>0. 求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

【答案】（1）， .（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：先求解（2）：定義域?yàn)?/span>，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由于，故分為三類(lèi)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（1）由前面的分析可知，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為，故極小值為，極大值為.

試題解析：由題知, x>0, ，

令f′(x)=0得x1=a,x2=1, 當(dāng)0<a<1時(shí),在x∈(0,a)或x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,

在x∈(a,1)時(shí),f′(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);當(dāng)a=1時(shí), ,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)a>1時(shí),在x∈(0,1)或x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,在x∈(1,a)時(shí),f′(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).

（1）當(dāng)a=2時(shí),在x∈(0,1)或x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,在x∈(1,2)時(shí),f′(x)<0,

所以x=1時(shí)有極大值：

所以x=2時(shí)有極大值：

（2）綜上：當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(a,1);

當(dāng)a=1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);

當(dāng)a>1時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(a,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,a).