【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的離心率 ,且點 在橢圓E上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)直線l與橢圓E交于A、B兩點,且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點 .求△AOB(O為坐標原點)面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知,e= = ,a2﹣b2=c2 , ∵點 在橢圓上,
∴ ,解得a=2,b=1.
∴橢圓方程為 ;
(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),
∵AB的垂直平分線過點 ,∴AB的斜率k存在.
當(dāng)直線AB的斜率k=0時,x1=﹣x2 , y1=y2 ,
∴S△AOB= 2|x||y|=|x|
= ≤ =1,
當(dāng)且僅當(dāng)x12=4﹣x12 , 取得等號,
∴ 時,(S△AOB)max=1;
當(dāng)直線AB的斜率k≠0時,設(shè)l:y=kx+m(m≠0).
消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△>0可得4k2+1>m2①,
x1+x2=﹣ ,x1x2= ,可得 ,
,
∴AB的中點為 ,
由直線的垂直關(guān)系有 ,化簡得1+4k2=﹣6m②
由①②得﹣6m>m2 , 解得﹣6<m<0,
又O(0,0)到直線y=kx+m的距離為 ,
,
= ,
∵﹣6<m<0,∴m=﹣3時, .
由m=﹣3,∴1+4k2=18,解得 ;
即 時,(S△AOB)max=1;
綜上:(S△AOB)max=1.
【解析】(Ⅰ)運用離心率公式和點滿足橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),討論直線AB的斜率為0和不為0,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和弦長公式,結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的最值的求法,可得面積的最大值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l與拋物線交于點A,B兩點,與x軸交于點M,直線OA,OB的斜率之積為.
(1)證明:直線AB過定點;
(2)以AB為直徑的圓P交x軸于E,F(xiàn)兩點,O為坐標原點,求|OE||OF|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)若的解集為,求的值;
(2)求函數(shù)在上的最小值;
(3)對于,使成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點A(0,4),且在兩坐標軸上的截距之和為1.
(Ⅰ)求直線l的方程;
(Ⅱ)若直線l1與直線l平行,且l1與l間的距離為2,求直線l1的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,建立平面直角坐標系,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1 km,某炮位于原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.則炮的最大射程為( )
A. 20 km B. 10 km
C. 5 km D. 15 km
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】理科競賽小組有9名女生、12名男生,從中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.
(Ⅰ)如果按照性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可)
(Ⅱ)如果隨機抽取的7名同學(xué)的物理、化學(xué)成績(單位:分)對應(yīng)如表:
學(xué)生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
物理成績 | 65 | 70 | 75 | 81 | 85 | 87 | 93 |
化學(xué)成績 | 72 | 68 | 80 | 85 | 90 | 86 | 91 |
規(guī)定85分以上(包括85份)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中再抽取3名同學(xué),記這3名同學(xué)中物理和化學(xué)成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,已知,對于任意的,有.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.
(3)設(shè),是否存在實數(shù),當(dāng)時,恒成立?若存在,求實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓與拋物線的一個公共點,且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點.
(1)求橢圓及拋物線的方程;
(2)設(shè)過且互相垂直的兩動直線,與橢圓交于兩點,與拋物線交于兩點,求四邊形面積的最小值
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