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如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且AF=
12
AD=a
,G是EF的中點.
(1)求證:平面AGC⊥平面BGC;
(2)求二面角B-AC-G的大。
分析:(1)由G是矩形ABEF的邊EF的中點,我們由已知中ABEF是矩形,且 AF=
1
2
AD=2
,得到AG,及BG的長,根據勾股定理,我們可得到AG⊥BG,又由平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,結合面面垂直的性質,我們易得到BC⊥平面ABEF,進而由線面垂直的定義得到BC⊥AG,由線面垂直及面百垂直的判定定理,即可得到平面AGC⊥平面BGC;
(2)二面角B-AC-G的大小,先作出部署二面角的平面角,作GM⊥AB于M,則M為AB中點,M為G的射影,作GH⊥AC于H,連接MH,從而可知所求角∠GHM,進而可求.
解答:解:(1)證明:∵G是矩形ABEF的邊EF的中點
∴AG=BG=
22+22
=2
2

∴AG2+BG2=AB2
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF,
又∵AG?平面ABEF,
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC
∵AG?平面AGC
∴平面AGC⊥平面BGC;
 (2)作GM⊥AB于M,則M為AB中點,M為G的射影
作GH⊥AC于H,連接MH
則所求角∠GHM
Rt△ACB中,GM=a,MH=
1
2
BD=
2
a

∠GHM=arctan
2
2
點評:本題以面面垂直為載體,考查面面垂直的判定與行政,考查面面角,關鍵是正確運用定理,尋找線面垂直.
練習冊系列答案
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2
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3
2
AD
,G是EF的中點,則GB與平面AGC所成角的正弦值為(  )
A、
6
6
B、
21
6
C、
7
7
D、
21
7

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