【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(,0),A2(,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.
(1)求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)過R(3,0)的直線與軌跡C交于P,Q,過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N,F為軌跡C的右焦點(diǎn),若(λ>1),求證:.
【答案】(1)1(x≠±);(2)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意先寫出兩直線的方程,再根據(jù)條件化簡即可求得答案;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),設(shè)l:x=ty+3,聯(lián)立直線與橢圓的方程,由韋達(dá)定理得y1+y2且y1y2,根據(jù)題意得 x1﹣3=λ(x2﹣3),y1=λy2,再代入即可證明結(jié)論.
(1)解:依題意知直線A1N1的方程為:y(x)…①;
直線A2N2的方程為:y(x)…②
設(shè)Q(x,y)是直線A1N1與A2N2交點(diǎn),①、②相乘,得y2(x2﹣6)
由mn=2整理得:1
∵N1、N2不與原點(diǎn)重合,可得點(diǎn)A1,A2不在軌跡M上,
∴軌跡C的方程為1(x≠±);
(2)證明:設(shè)l:x=ty+3,代入橢圓方程消去x,得(3+t2)y2+6ty+3=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,﹣y1),可得y1+y2且y1y2,
,可得(x1﹣3,y1)=λ(x2﹣3,y2),∴x1﹣3=λ(x2﹣3),y1=λy2,
證明,只要證明(2﹣x1,y1)=λ(x2﹣2,y2),∴2﹣x1=λ(x2﹣2),
只要證明,只要證明2t2y1y2+t(y1+y2)=0,
由y1+y2且y1y2,代入可得2t2y1y2+t(y1+y2)=0,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)(),.
(1)求的極值;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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【題目】已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且,,.
(1)求和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和,求;
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)積為,求.
(4)數(shù)列滿足,,其中,,求.
(5)解決數(shù)列問題時(shí),經(jīng)常需要先研究陌生的通項(xiàng)公式,只有先把通項(xiàng)公式研究明白,然后盡可能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列問題,由此使問題得到解決.通過對(duì)上面(2)(3)(4)問題的解決,你認(rèn)為研究陌生數(shù)列的通項(xiàng)問題有哪些常用方法,要求介紹兩個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)證明:平面;
(2)若為的中點(diǎn),二面角等于60°,求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù),其前項(xiàng)和為,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)若,,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù)恒成立,若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍,若不存在,說明理由.
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【題目】已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)且與直線相切.
(1)求圓心的軌跡的方程;
(2)過的直線與交于,兩點(diǎn),分別過,做的垂線,垂足為,,線段的中點(diǎn)為.
①求證:;
②記四邊形,的面積分別為,,若,求.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線交于M,拋物線C的焦點(diǎn)為F,且.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D,E在y軸上,圓內(nèi)切于三角形,求三角形的面積的最小值.
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【題目】拋物線,為直線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,.
(1)證明:直線過定點(diǎn);
(2)若以為圓心的圓與直線相切,且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn),求該圓的面積.
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