Question

已知a＞0，函數(shù)f(x)=

1-ax

x

，x∈（{0，+∞}），設(shè)0＜x1＜

2

a

，記曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線為l，
（1）求l的方程；
（2）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x₂，0）證明：0＜x2≤

1

a

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=x₁處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出化簡(jiǎn)即可；
（2）切線方程中令y=0，將x₂用x₁表示，然后利用配方法得x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

，根據(jù)x₁的范圍求出x₂的范圍即可．

解答：解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′(x)=-

1

x2

，由此得切線l的方程y-

1-ax1

x1

=-

1

x 2 1

(x-x1)；
（2）依題得，切線方程中令y=0，得x₂=x₁（1-ax₁）+x₁=x₁（2-ax₁），其中0＜x1＜

2

a

，
由0＜x1＜

2

a

，x₂=x₁（2-ax₁），有x₂＞0，及x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

，
∴0＜x2≤

1

a

，當(dāng)且僅當(dāng)x1=

1

a

時(shí)，x2=

1

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．