Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出f′（1）即切線的斜率，求出f（1），利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑流程方程求出a的值．
（2）令f′（x）＞0求出x的范圍寫出區(qū)間形式即為單調(diào)遞增區(qū)間；令f′（x）＜0求出x的范圍寫出區(qū)間形式即為單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）由（2），求出函數(shù)的極值及區(qū)間的端點(diǎn)值，比較極值與端點(diǎn)值選出最值．

解答：解：（1）依題意有x＜2，f′(x)=a+

1

x-2

（1分）
過點(diǎn)（1，f（1））的直線斜率為a-1，所以過（1，a）點(diǎn)的直線方程為y-a=（a-1）（x-1）（2分）
又已知圓的圓心為（-1，0），半徑為1
∴

|1-a+1|

(a-1)2+1

=1，解得a=1（3分）
（2）f′(x)=

ax-2a+1

x-2

=a[x-(2-

1

a

)]•

1

x-2

當(dāng)a＞0時(shí)，2-

1

a

＜2（5分）
令f′（x）＞0，解得x＜2-

1

a

，令f′（x）＜0，解得2-

1

a

＜x＜2
所以f（x）的增區(qū)間為(-∞，2-

1

a

)，減區(qū)間是(2-

1

a

，2)（7分）
（3）當(dāng)2-

1

a

≤0，即0＜a≤

1

2

時(shí)，f（x）在[0，1]上是減函數(shù)所以f（x）的最小值為f（1）=a（9分）
當(dāng)0＜2-

1

a

＜1即

1

2

＜a＜1時(shí)f（x）在(0，2-

1

a

)上是增函數(shù)，在(2-

1

a

，1)是減函數(shù)所以需要比較f（0）=ln2和
f（1）=a兩個(gè)值的大�。�11分）
因?yàn)?span id="dnzlpzb" class="MathJye">e

1

2

＜3

1

2

＜2＜e，所以

1

2

＜ln

3

＜ln2＜lne=1
∴當(dāng)

1

2

＜a＜ln2時(shí)最小值為a，當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為ln2（12分）
當(dāng)2-

1

a

≥1，即a≥1時(shí)，f（x）在[0，1]上是增函數(shù)
所以最小值為ln2．
綜上，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，f（x）為最小值為a
當(dāng)a≥ln2時(shí)，f（x）的最小值為ln2（14分）

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的最值時(shí)，一般先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再求出區(qū)間端點(diǎn)值，從中比較出最值．