Question

已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

．若x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)平面向量的垂直的坐標運算法則，由已知

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，得到關(guān)于x，y，z的方程，即關(guān)于Z的目標函數(shù)，畫出約束條x+y≤1對應(yīng)的平面區(qū)域，并求出各個角點的坐標，代入即可求出目標函數(shù)的最值，進而給出z的取值范圍．

解答： 解：∵

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，
∴（x+z）×2+3×（y-z）=2x+3y-z=0，
即z=2x+3y，
∵滿足不等式|x|+|y|≤1的平面區(qū)域如下圖所示：
由圖可知當(dāng)x=0，y=1時，z取最大值3，
當(dāng)x=0，y=-1時，z取最小值-3，
故z的取值范圍為[-3，3]；
故答案為[-3，3]．

點評：本題考查了兩個平面向量的垂直性質(zhì)，簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用平面向量的垂直的坐標運算法則，求出目標函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．