Question

已知關于x的方程cosx+sin²x+m-1=0（m∈R）恒有實數解，記m的所有可能取值構成集合P；又焦點在x軸上的橢圓

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的離心率的取值范圍為（0，

3

2

]，記n的所有可能取值構成集合Q．設M=P∩Q，若λ為區(qū)間[-1，4]上的隨機數，則λ∈M的概率為（　�。�

• A、

  1

  20

• B、

  9

  20

• C、

  1

  5

• D、

  2

  5

Answer 1

考點：幾何概型,模擬方法估計概率

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：根據方程cosx+sin²x+m-1=0（m∈R）恒有實數解，求出m的取值范圍，根據焦點在x軸上的橢圓

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的離心率的取值范圍為（0，

3

2

]，求出n的范圍，可得M，再根據幾何概型的概率公式進行求解即可．

解答： 解：由cosx+sin²x+m-1=0得m=cosx²-cosx=（cosx-

1

2

）²-

1

4

，
∵-1≤cosx≤1，
∴-

1

4

≤m≤2，
即P=[-

1

4

，2]，
∵焦點在x軸上的橢圓

x2

n+2

+y2=1（n∈R）的離心率的取值范圍為（0，

3

2

]，
∴

n+2＞1 0＜ n+1 n+2 ≤ 3 4

，
∴-1＜n≤2，
∴Q=（-1，2]，
∴M=P∩Q=[-

1

4

，2]，
若λ為區(qū)間[-1，4]上的隨機數，
則λ∈M的概率P=

2-(- 1 4 )

4-(-1)

=

9

20

，
故選：B．

點評：本題主要考查幾何概型的概率公式的應用，根據條件求m、n的等價條件是解決本題的關鍵．