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已知數列an、bn中,對任何正整數n都有:a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2.
(1)若數列an是首項和公差都是1的等差數列,求證:數列bn是等比數列;
(2)若數列bn是等比數列,數列an是否是等差數列,若是請求出通項公式,若不是請說明理由;
(3)若數列an是等差數列,數列bn是等比數列,求證:
【答案】分析:(1)先求an=n,代入已知可得bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,則bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2)兩式相減可求數列bn
(2)同(1)可得,結合q的取值及等差數列的通項公式可求
(3)利用放縮不等式可證
解答:解:(1)依題意數列an的通項公式是an=n,
故等式即為bn+2bn-1+3bn-2+…+(n-1)b2+nb1=2n+1-n-2,bn-1+2bn-2+3bn-3+…+(n-2)b2+(n-1)b1=2n-n-1(n≥2),
兩式相減可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1(3分)
得bn=2n-1,數列bn是首項為1,公比為2的等比數列.(4分)
(2)設等比數列bn的首項為b,公比為q,則bn=bqn-1,從而有:bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2,
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1(n≥2),
故(2n-n-1)q+ban=2n+1-n-2(6分)
,
要使an+1-an是與n無關的常數,必需q=2(8分)
即①當等比數列bn的公比q=2時,數列an是等差數列,其通項公式是;
②當等比數列bn的公比不是2時,數列an不是等差數列.(9分)
(3)由(2)知anbn=n•2n-1,(10分)
顯然n=1,2時
當n≥3時
(14分)
==(16分)
點評:本題主要考查等差數列、等比數列通項公式及由數列的“和”轉化為“項”的綜合應用,考查運算能力和推理論證能力.解題中體現了分類討論的思想在解題中的應用.
練習冊系列答案
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(1)若數列an是首項和公差都是1的等差數列,求證:數列bn是等比數列;
(2)若數列bn是等比數列,數列an是否是等差數列,若是請求出通項公式,若不是請說明理由;
(3)若數列an是等差數列,數列bn是等比數列,求證:
n
i=1
1
aibi
3
2

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(3)若數列an是等差數列,數列bn是等比數列,求證:

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