(2006•上海模擬)直三棱柱中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,BD=DB1
(1)求證:AD⊥平面A1DC1
(2)求異面直線C1D,A1C所成角的余弦.
分析:(1)由A1B1⊥A1C1,知AD⊥A1C1,由∠ADB=∠A1DB1=45°,知AD⊥A1D,由此能夠證明AD垂直平面A1DC1
(2)以A1C1,A1B1,A1A分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系.則A1(0,0,0),C1(1,0,0),C(1,0,2),D(0,1,1),
C1D
=(-1,1,1),
A1C
=(1,0,2),
C1D
A1C
=1.由向量法能夠求出異面直線C1D,A1C所成角的余弦.
解答:解:(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AD在平面A1B1C1的投影為A1B1,因為A1B1⊥A1C1,
所以AD⊥A1C1,
在矩形ABB1A1中,∠ADB=∠A1DB1=45°,
所以∠ADA1=90°,所以AD⊥A1D,
所以AD垂直平面A1DC1
(2)以A1C1,A1B1,A1A分別為x,y,z軸建立坐標(biāo)系.
則A1(0,0,0),C1(1,0,0),C(1,0,2),D(0,1,1)
C1D
=(-1,1,1),
A1C
=(1,0,2),
C1D
A1C
=1
|
C1D
|=
3
,|
A1C
|=
5

設(shè)異面直線C1D,A1C所成角為α,
cosα=|
1
3
×
5
=
15
15
點評:本題考相直線和平面的垂直的證明和兩條異面直線所成角的余弦值的求法,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意向量法的合理運用.
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lim
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1
2
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2

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+
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)
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1
1

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