Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2wx-

π

6

）-4sin²wx+2（w＞0），其圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

π

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)g（x）的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-

π

3

，0），求當(dāng)m取得最小值時(shí)，g（x）在[-

π

6

，

7π

12

]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換求得f（x）=

3

sin（2wx+

π

3

），再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求出ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、g（x）的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-

π

3

，0），求得g（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）．令2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍可得函數(shù)的增區(qū)間，再結(jié)合合x∈[-

π

6

，

7π

12

]，進(jìn)一步確定g（x）的增區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（2wx-

π

6

）-4sin²wx+2（w＞0）=

3

2

sin2wx-

1

2

cos2wx-4•

1-cos2wx

2

+2
=

3

2

sin2wx+

3

2

cos2wx=

3

sin（2wx+

π

3

），
根據(jù)圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

π

2

，可得函數(shù)的最小正周期為2×

π

2

=

2π

2ω

，求得ω=1，
故函數(shù)f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．

（2）將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)g（x）=

3

sin[2（x+m）+

π

3

]=

3

sin（2x+2m+

π

3

）的圖象，
再根據(jù)g（x）的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-

π

3

，0），
可得sin（2m-

π

3

）=0，
故 m=

π

6

，
g（x）=

3

sin（2x+

2π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，故函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈z．
再結(jié)合x∈[-

π

6

，

7π

12

]，可得增區(qū)間為[-

π

6

，-

π

12

]、[

5π

12

，

7π

12

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性和求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．