【題目】已知數(shù)列 的前 項和為 ,并且滿足 , .
(1)求數(shù)列 通項公式;
(2)設(shè) 為數(shù)列 的前 項和,求證: .
【答案】(1) (2)見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意得到, ,兩式做差得到;(2)根據(jù)第一問得到,由錯位相減法得到前n項和,進而可證和小于1.
解析:
(1)∵
當 時,
當時, ,即
∴數(shù)列 時以 為首項, 為公差的等差數(shù)列.
∴ .
(2)∵
∴ ①
②
由① ②得
∴
點睛:這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法;數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數(shù)列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知 , 分別是橢圓 : ( )的左、右焦點, 是橢圓 上的一點,且 ,橢圓 的離心率為 .
(1)求橢圓 的標準方程;
(2)若直線 : 與橢圓 交于不同兩點 , ,橢圓 上存在點 ,使得以 , 為鄰邊的四邊形 為平行四邊形( 為坐標原點).
(ⅰ)求實數(shù) 與 的關(guān)系;
(ⅱ)證明:四邊形 的面積為定值.
【答案】(1) (2)①② 四邊形 的面積為定值,且定值為
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意得到, ,橢圓的標準方程為;(2)聯(lián)立直線和橢圓方程得到二次方程,根據(jù)題意得到,由韋達定理得到P點坐標,再根據(jù)點在橢圓上得到參數(shù)值關(guān)系;(3)先由弦長公式得到,由點線距得到三角形高度,再根據(jù)四邊形面積公式,進而得到定值.
解析:
(1)依題意, ,即 .
又 ,∴
∴
故橢圓的標準方程為
(2)(ⅰ)由 消 得 .
則
設(shè) , ,則 , .
∴
∵四邊形 為平行四邊形.
∴
∴點 坐標為
∵點 在橢圓 上,
∴ ,整理得
(ⅱ)∵
又點 到直線 : 的距離為
∴四邊形 的面積
故四邊形 的面積為定值,且定值為 .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知AB為圓O的直徑,C,D是圓O上的兩個點,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.
(1)求證:AC是∠DAB的平分線;
(2)求證:OF∥AG.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭進行理財投資,有兩種方式,甲為投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品,乙為投資股票等風險型產(chǎn)品,設(shè)投資甲、乙兩種產(chǎn)品的年收益分別為、萬元,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,它們與投入資金萬元的關(guān)系分別為,,(其中,,都為常數(shù)),函數(shù),對應(yīng)的曲線,如圖所示.
(1)求函數(shù)、的解析式;
(2)若該家庭現(xiàn)有萬元資金,全部用于理財投資,問:如何分配資金能使一年的投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線 ( )的焦點為 ,已知點 , 為拋物線上的兩個動點,且滿足 .過弦 的中點 作拋物線準線的垂線 ,垂足為 ,則 的最大值為__________.
【答案】1
【解析】設(shè),在三角形ABF中,用余弦定理得到
,
故最大值為1.
故答案為:1.
點睛:本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用了拋物線的定義。一般和拋物線有關(guān)的小題,很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的;平時練習時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦半徑聯(lián)系的題目,一般都和定義有關(guān),實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化。
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】設(shè) 的內(nèi)角 , , 所對的邊分別為 , , ,且 , .
(1)當 時,求 的值;
(2)當的面積為 時,求的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,過點A作⊙O的切線EP交CB的延長線于P,∠PAB=35°.
(1)若BC是⊙O的直徑,求∠D的大。
(2)若∠PAB=35°,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線,半徑為2的圓與相切,圓心在軸上且在直線的上方.
(1)求圓的方程;
(2)過點的直線與圓交于兩點(在軸上方),問在軸正半軸上是否存在定點,使得軸平分?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為奇函數(shù),為偶函數(shù),且.
(Ⅰ)求函數(shù)及的解析式;
(Ⅱ)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:函數(shù)在上是減函數(shù);
(Ⅲ)若關(guān)于的方程有解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AB,AD⊥DC,∠DAC=60°,PA=AC=2,AB=1.
(1)求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
(2)在線段CP上是否存在一點E,使得DE⊥PB,若存在,求線段CE的長度,不存在,說明理由.
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