設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f(x)≤6x+2恒成立;正數(shù)數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和值域;
(2)試寫出一個(gè)區(qū)間(a,b),使得當(dāng)an∈(a,b)時(shí),數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)若已知,求證:數(shù)列{lg(
1
2
-an)+lg2}
是等比數(shù)列.
分析:(1)由恒成立,轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式組,解之可得解析式,進(jìn)而可得值域;
(2)比如區(qū)間(0,
1
2
),用作差法可證;
(3)由(2)可得(
1
2
-an+1=2(
1
2
-an)2
,bn=
1
2
-an
,則有bn+1=2
b
2
n
,代入后由對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得答案.
解答:解:(1)f(x)≤6x+2恒成立,等價(jià)于(k-4)x2+(k-6)x-2≤0恒成立,
從而可得
k-4<0
△=(k-6)2+8(k-4)≤0
,化簡(jiǎn)得
k<4
(k-2)2≤0
,解得k=2,
所以f(x)=-2x2+2x,由二次函數(shù)的最值可知當(dāng)x=
1
2
時(shí),函數(shù)取最大值
1
2
,
故值域?yàn)椋?∞,
1
2
]
(2)解:當(dāng)an∈(0,
1
2
)
時(shí),數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列,證明如下:
設(shè)an∈(0,
1
2
),n≥1
,則an+1=f(an)=-2
a
2
n
+2an=-2(an-
1
2
)2+
1
2
∈(0,
1
2
)
,
所以對(duì)一切n∈N*,均有an∈(0,
1
2
)
;…(6分)
an+1-an=f(an)-an=-2
a
2
n
+2an-an=-2(an-
1
4
)2+
1
8
,an∈(0,
1
2
)⇒-
1
4
an-
1
4
1
4
⇒(an-
1
4
)2
1
16
⇒-2(an-
1
4
)2>-
1
8
⇒-2(an-
1
4
)2+
1
8
>0
,
從而得an+1-an>0,即an+1>an,所以數(shù)列{an}在區(qū)間(0,
1
2
)
上是遞增數(shù)列.…(8分)
(3)證明:由(2)知an∈(0,
1
2
)
,從而
1
2
-an∈(0,
1
2
)

1
2
-an+1=
1
2
-(-2
a
2
n
+2an)=2
a
2
n
-2an+
1
2
=2(an-
1
2
)2
,即
1
2
-an+1=2(
1
2
-an)2
;  …(10分)   
 令bn=
1
2
-an
,則有bn+1=2
b
2
n
bn∈(0,
1
2
)

從而有l(wèi)gbn+1=2lgbn+lg2,可得lgbn+1+lg2=2(lgbn+lg2),
所以數(shù)列{lg(
1
2
-an)+lg2}
是以lg(
1
2
-a1)+lg2=lg(
1
2
-
1
3
)+lg2=lg
1
3
為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列,…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列關(guān)系的確定,涉及函數(shù)的值域和恒成立問(wèn)題,屬中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+c(c>
1
8
)
的圖象與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,則x2-x1的取值范圍為(  )
A、(0,1)
B、(0,
2
2
)
C、(
1
2
,
2
2
)
D、(
2
2
,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)≤6x+2恒成立;數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和值域;
(2)試寫出一個(gè)區(qū)間(a,b),使得當(dāng)a1∈(a,b)時(shí),數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)已知,是否存在非零整數(shù)λ,使得對(duì)任意n∈N*,都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)>(-1)n-12λ+nlog32-1
-1+(-1)n-12λ+nlog32恒成立,若存在,求之;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2014•長(zhǎng)寧區(qū)一模)設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)≤6x+2恒成立;數(shù)列{an}滿足an+1=f(an).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式和值域;
(2)證明:當(dāng)an∈(0,
1
2
)
時(shí),數(shù)列{an}在該區(qū)間上是遞增數(shù)列;
(3)已知a1=
1
3
,是否存在非零整數(shù)λ,使得對(duì)任意n∈N*,都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)>-
1+(-1)n-12λ+nlog32恒成立,若存在,求之;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)的值為(    )

A.正數(shù)          B.負(fù)數(shù)     C.非負(fù)數(shù)              D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能

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